Какое число не является делителем числа 30!? Выберите один из вариантов ответа: 1) 108, 2) 91, 3) 72

Чтобы определить, какое число не является делителем числа \(30!\), мы можем разложить факториал \(30!\) на простые множители и проверить каждое из предложенных чисел.

Факториал \(30!\) обозначает произведение всех чисел от 1 до 30. Выпишем его разложение на простые множители:

\[30! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24 \cdot 25 \cdot 26 \cdot 27 \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30\]

Теперь проверим каждое из предложенных чисел, начав с варианта 1) 108. Чтобы определить, является ли 108 делителем \(30!\), мы разделим \(30!\) на 108 и проверим, равно ли остаточное значение нулю.

\[\frac{30!}{108}\]

Чтобы выполнить это деление, нам необходимо упростить \(30!\) и 108 до наименьших возможных простых множителей.

Разложим 108 на простые множители:

\[108 = 2^2 \cdot 3^3\]

Теперь разложим \(30!\) на простые множители и сократим его с 108:

\[30! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 19 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 29 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^{24} \cdot 3^{14} \cdot 5^7 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29\]

Теперь разделим \(30!\) на 108:

\[\frac{2^{24} \cdot 3^{14} \cdot 5^7 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29}{2^2 \cdot 3^3}\]

Сократим общие множители и упростим выражение:

\[= 2^{22} \cdot 3^{11} \cdot 5^7 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29\]

Теперь взглянем на вариант 1) 108. Мы видим, что величина \(30!\) не делится на 108 без остатка. Следовательно, 108 не является делителем \(30!\).

Проведем аналогичные вычисления для остальных предложенных чисел: 91, 72 и 62.

2) 91:
\(\frac{30!}{91} = 2^{25} \cdot 3^{12} \cdot 5^7 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29\) - делится без остатка.

3) 72:
\(\frac{30!}{72} = 2^{23} \cdot 3^{11} \cdot 5^7 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29\) - делится без остатка.

4) 62:
\(\frac{30!}{62} = 2^{25} \cdot 3^{12} \cdot 5^6 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29\) - делится без остатка.

Таким образом, из предложенных вариантов только 1) 108 не является делителем числа \(30!\). Ответ: 1) 108.