Какова площадь поверхности, образованной вращением прямоугольного треугольника вокруг его короткого катета, если длина

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с визуализации задачи. У нас есть прямоугольный треугольник, где длина длинного катета составляет 6 см, а противолежащий угол равен 60 градусов. Давайте нарисуем этот треугольник на бумаге.

(Треугольник изображается на бумаге)

2. Теперь мы должны представить, как поверхность будет выглядеть, когда треугольник будет вращаться вокруг своего короткого катета. Поверхность будет образовывать конус с вершиной в точке, где треугольник касается оси вращения.

(Конус изображается на бумаге)

3. Чтобы найти площадь поверхности этого конуса, нам нужно знать его площадь основания и его образующую. Найдем эти значения.

A) Площадь основания конуса: основание конуса - это круг, радиус которого равен длине короткого катета треугольника. По определению, площадь круга равна \(\pi r^2\), где \(r\) - радиус круга.

В нашем случае, радиус равен длине короткого катета треугольника, поэтому радиус \(r = \frac{6}{\sqrt{3}}\) (так как угол 60 градусов делит прямой угол треугольника на две равные части, поэтому длина короткого катета равна половине длины гипотенузы).

Подставим значение радиуса в формулу площади круга:
\[S_{\text{осн}} = \pi \left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2 = 12 \pi\]

Б) Образующая конуса: образующая - это длина гипотенузы треугольника, которая равна длине длинного катета в нашем случае. Обозначим образующую как \(l\), тогда \(l = 6\).

4. Теперь, когда у нас есть площадь основания и образующая конуса, мы можем найти площадь поверхности конуса. Формула для площади поверхности конуса выглядит так:
\[S_{\text{пов}} = \pi r l\]

Подставим значения радиуса и образующей в формулу площади поверхности конуса:
\[S_{\text{пов}} = \pi \left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right) \cdot 6 = 36 \pi\]

Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением прямоугольного треугольника вокруг его короткого катета, равна \(36 \pi\) квадратных сантиметров.