Какова площадь поверхности и объем цилиндра, если развёртка его боковой поверхности является квадратом с диагональю

Хорошо, давайте решим эту задачу step-by-step. Предположим, что развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом со стороной \(a\) с диагональю \(d\).

Чтобы найти площадь поверхности цилиндра, мы должны сначала найти площади боковой и оснований цилиндра, а затем сложить их.

1. Площадь боковой поверхности цилиндра:
Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, развернутый вдоль его высоты, равной высоте цилиндра. В данном случае, это сторона квадрата \(a\), и высота цилиндра равна периметру основания. Периметр основания равен \(4 \cdot a\).
Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна \(a \cdot 4a = 4a^2\).

2. Площадь основания цилиндра:
Основание цилиндра - это круг с радиусом \(r\). Мы знаем, что диаметр основания равен длине диагонали квадрата, то есть \(d\). Радиус равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{d}{2}\).
Площадь круга равна \(\pi r^2\), так что площадь одного основания цилиндра равна \(\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \frac{d^2}{4}\).

3. Объем цилиндра:
Объем цилиндра можно найти, умножив площадь основания на высоту. В данном случае, высота цилиндра равна стороне квадрата, то есть \(a\).
Таким образом, объем цилиндра равен \(V = \pi \frac{d^2}{4} \cdot a\).

Таким образом, мы нашли площадь поверхности цилиндра и его объем. Площадь поверхности цилиндра равна \(4a^2\), а объем равен \(V = \pi \frac{d^2}{4} \cdot a\).