Какова площадь поверхности фигуры, полученной путем отколки всех вершин октаэдра, при которой у нее есть 6 граней

Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь поверхности фигуры, полученной из октаэдра.

Первым шагом давайте определимся с формулой, которая позволит нам вычислить площадь поверхности. Общая формула для вычисления площади поверхности многогранника состоит из суммы площадей его граней. В данном случае у нас есть 6 граней в форме квадратов и 8 граней в форме правильных шестиугольников.

Для квадрата площадь грани можно найти по формуле \( S_{\text{квадрата}} = a^2 \), где \( a \) - длина стороны квадрата. В нашем случае все квадраты имеют одинаковую длину стороны, равную длине ребра октаэдра. Поэтому площадь каждой квадратной грани равна \( S_{\text{квадрата}} = 6^2 = 36 \) квадратных единиц.

Для правильного шестиугольника площадь грани можно найти по формуле \( S_{\text{шестиугольника}} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{2} \), где \( a \) - длина стороны правильного шестиугольника. В нашем случае длина стороны правильного шестиугольника также равна длине ребра октаэдра. Поэтому площадь каждой шестиугольной грани равна \( S_{\text{шестиугольника}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 6^2}{2} = 54\sqrt{3} \) квадратных единиц.

Теперь, чтобы найти общую площадь поверхности фигуры, нужно просто просуммировать площади всех граней: \( S_{\text{поверхности}} = 6 \cdot 36 + 8 \cdot 54\sqrt{3} \).

Подсчитав данное выражение, получим:
\[ S_{\text{поверхности}} = 216 + 432\sqrt{3} \]

Таким образом, площадь поверхности фигуры, полученной путем отколки всех вершин октаэдра, при условии, что у нее есть 6 граней в форме квадратов и 8 граней в форме правильных шестиугольников, равна \( 216 + 432\sqrt{3} \) квадратных единиц.