Какова площадь поверхности цилиндра, который образуется вращением правильной шестиугольной призмы с ребром длиной

Конечно! Давайте решим задачу step-by-step.

Итак, дано, что у нас есть правильная шестиугольная призма с ребром длиной 1 см.

а) Для вычисления площади поверхности цилиндра, который образуется вращением призмы вокруг оси, содержащей боковое ребро, нам нужно разделить эту задачу на две части: площадь боковой поверхности призмы и площадь двух оснований цилиндра.

1. Площадь боковой поверхности призмы:
Чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, мы можем вычислить площадь одного бокового грани и умножить ее на количество боковых граней призмы.

В правильной шестиугольной призме у нас есть 6 боковых граней. Каждая из этих граней является правильным треугольником, с высотой, равной длине ребра призмы, и основанием, равным периметру правильного шестиугольника.

Периметр правильного шестиугольника можно найти, зная длину одной его стороны. Так как у нас дано, что длина ребра призмы равна 1 см, то и длина стороны шестиугольника тоже будет равна 1 см.

Таким образом, площадь одной боковой грани будет равна площади правильного треугольника со стороной длиной 1 см:
\[S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]
\[S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2\]
\[S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1\]
\[S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} \, \text{см}^2\]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности призмы, умножив площадь одной грани на количество граней (6):
\[S_{бок} = 6 \cdot S_{грани}\]
\[S_{бок} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \, \text{см}^2\]
\[S_{бок} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2\]

2. Площадь основания цилиндра:
Основание цилиндра образуется при вращении основания призмы вокруг оси. У нас есть шестиугольник, и чтобы найти площадь его основания, нам нужно знать формулу площади правильного шестиугольника. Величина угла между сторонами правильного шестиугольника равна 120 градусам.

Формула площади правильного шестиугольника с длиной стороны a:
\[S_{основания} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2\]
\[S_{основания} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2\]
\[S_{основания} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2\]

Теперь у нас есть площадь основания цилиндра и площадь его боковой поверхности. Чтобы найти площадь поверхности цилиндра, нужно сложить эти две площади:
\[S_{цилиндра} = S_{бок} + 2 \cdot S_{основания}\]
\[S_{цилиндра} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2\]
\[S_{цилиндра} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3} \, \text{см}^2\]
\[S_{цилиндра} = \frac{3\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2\]
\[S_{цилиндра} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь поверхности цилиндра, который образуется вращением шестиугольной призмы вокруг оси, содержащей боковое ребро, равна \(\frac{9\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2\).

б) Для вычисления площади поверхности цилиндра, который образуется вращением призмы вокруг оси, проходящей через центры оснований призмы, нам снова нужно разделить задачу на две части: площадь боковой поверхности призмы и площадь одного основания цилиндра.

1. Площадь боковой поверхности призмы:
Здесь все аналогично предыдущему случаю, площадь боковой поверхности призмы равна \(\frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2\).

2. Площадь одного основания цилиндра:
Вращение основания призмы вокруг оси, проходящей через центры оснований, образует круг. Чтобы найти площадь круга, нам нужно знать его радиус, который равен половине длины основания призмы.

Длина основания призмы равна периметру правильного шестиугольника (6 единиц):
\[P = 6 \cdot a\]
\[P = 6 \cdot 1\]
\[P = 6 \, \text{см}\]

Радиус круга будет равен половине длины основания призмы:
\[r = \frac{P}{2\pi}\]
\[r = \frac{6}{2\pi}\]
\[r = \frac{3}{\pi} \, \text{см}\]

Теперь мы можем найти площадь одного основания цилиндра, используя формулу площади круга:
\[S_{основания} = \pi \cdot r^2\]
\[S_{основания} = \pi \cdot \left(\frac{3}{\pi}\right)^2\]
\[S_{основания} = \pi \cdot \frac{9}{\pi^2}\]
\[S_{основания} = \frac{9}{\pi} \, \text{см}^2\]

Теперь, чтобы найти площадь поверхности цилиндра, сложим площадь боковой поверхности и удвоенную площадь одного основания:
\[S_{цилиндра} = S_{бок} + 2 \cdot S_{основания}\]
\[S_{цилиндра} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{9}{\pi} \, \text{см}^2\]
\[S_{цилиндра} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{18}{\pi} \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь поверхности цилиндра, который образуется вращением шестиугольной призмы вокруг оси, проходящей через центры оснований призмы, равна \(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{18}{\pi} \, \text{см}^2\).

Пожалуйста, обратите внимание, что все числа в ответе представлены в см^2 для удобства измерения площади.