Какова площадь полной поверхности прямой призмы, основанием которой является ромб со стороной равной 2√3 и углом

Хорошо, чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, нужно найти площади всех её сторон и сложить их.

Первым шагом найдем площадь боковой поверхности призмы. Боковая поверхность призмы состоит из двух равных прямоугольных треугольников и двух параллелограммов. Один из углов этого четырехугольника равен 60 градусов, поэтому вершина прямого угла помещается на меньшей диагонали ромба (длиной 2√3).

Чтобы найти высоту этого треугольника, мы можем использовать тригонометрический тангенс. Мы знаем, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В данном случае угол равен 30 градусов, и противолежащий катет является половиной стороны ромба, то есть \(2√3/2 = √3\). Прилежащий катет - это высота треугольника, которую мы хотим найти. Поэтому можно написать уравнение:

\(\tan 30^\circ = \frac{√3}{h}.\)

Решив это уравнение относительно \(h\), мы найдем высоту треугольника, которая будет равна \(h = √3 / \tan 30^\circ = √3 / (√3 / 3) = 3\).

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы будет равна \(S_1 = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (√3 \cdot 3) \cdot 2√3 = 6√3 \cdot 2√3 = 36\).

Площадь основания ромба можно найти, зная его сторону. Формула для площади ромба - \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\), где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба. В данном случае известна только меньшая диагональ ромба, которая равна 2√3. Чтобы найти большую диагональ, нужно воспользоваться косинусом угла между диагоналями. Так как угол между диагоналями равен 60 градусов, можно записать уравнение:

\(\cos 60^\circ = \frac{2√3}{d_2}\).

Решив это уравнение относительно \(d_2\), мы получаем \(d_2 = \frac{2√3}{\cos 60^\circ} = 2√3 / \frac{1}{2} = 4√3\).

Теперь мы можем найти площадь основания ромба: \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2√3 \cdot 4√3 = (2 \cdot 2) \cdot (√3 \cdot √3) = 4 \cdot 3 = 12\).

Наконец, чтобы найти полную поверхность призмы, мы должны сложить площади боковой поверхности и двух оснований:

\(S_{\text{полная}} = S_1 + 2 \cdot S_2 = 36 + 2 \cdot 12 = 36 + 24 = 60\).

Итак, площадь полной поверхности этой призмы равна 60.