Яка довжина діагоналі квадрата ABCD, якщо точка K знаходиться на відстані 9 см від сторони AB і віддалена на

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать теорему Пифагора и некоторые свойства квадратов.

1. Давайте начнем с построения схемы. Возьмем квадрат ABCD и точку K, которая находится на расстоянии 9 см от стороны AB и отдалена на некоторое расстояние от плоскости квадрата. Обозначим это расстояние как "x" см.

2. Заметьте, что если мы нарисуем отрезок DK, он будет перпендикулярен стороне AB, так как эта сторона является границей плоскости, а точка K находится от нее на расстоянии. Поэтому отрезок DK является высотой прямоугольного треугольника ADK.

3. Поскольку мы знаем длину стороны AB равной стороне квадрата, можно сказать, что DK разбивает AD на два отрезка, один из которых равен 9 см, а другой -- x см.

4. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ADK. В этом треугольнике гипотенуза -- это диагональ квадрата, которую мы хотим найти, а катеты -- отрезки AD и DK.

5. Используя теорему Пифагора, мы можем записать уравнение:

\[AD^2 = AK^2 + DK^2\]

6. Зная, что AD равно стороне квадрата, а DK равно x см, мы можем записать:

\[AB^2 = (AB - x)^2 + 9^2\]

Поскольку периметр квадрата равен сумме всех его сторон, то AB = AD. Из этого следует:

\[AD^2 = (AD - x)^2 + 81\]

7. Теперь развернем скобки:

\[AD^2 = AD^2 - 2xADx + x^2 + 81\]

8. Упрощаем уравнение:

\[2xADx = x^2 + 81\]

9. Перенесем все члены на одну сторону:

\[x^2 - 2xADx + 81 = 0\]

10. Теперь это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта для его решения:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-2xAD)^2 - 4(1)(81)\]
\[D = 4xAD^2 - 4(81)\]
\[D = 4xAD^2 - 324\]

11. Зная, что дискриминант равен 0 (как можно видеть из уравнения), мы можем записать:

\[D = 0\]
\[4xAD^2 - 324 = 0\]

12. Решим это уравнение относительно переменной AD:

\[4xAD^2 = 324\]
\[AD^2 = \frac{324}{4}\]
\[AD^2 = 81\]

13. Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину диагонали AD:

\[AD = \sqrt{81}\]
\[AD = 9\]

Таким образом, длина диагонали квадрата ABCD равна 9 см.