Какова площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, если все ее ребра имеют длину 2√3?

Для решения этой задачи нам необходимо знать, как вычислить площадь полной поверхности правильной треугольной призмы.

Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы вычисляется суммой площадей ее боковых граней и оснований.

Поскольку все ребра призмы равны и имеют длину \(2\sqrt{3}\), длины сторон основания призмы также равны \(2\sqrt{3}\).
Так как основание – правильный треугольник, то у него все стороны равны.

Площадь боковой грани равна произведению периметра основания \(P\) на высоту \(h\) этой призмы.

Для нахождения периметра основания треугольной призмы нужно сложить длины всех сторон.

Так как стороны основания призмы имеют длину \(2\sqrt{3}\), периметр основания равен \(3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\).

Чтобы найти высоту \(h\), можно использовать одно из нескольких доступных методов:
1. Воспользоваться теоремой Пифагора.
2. Использовать формулу для высоты правильного треугольника.
3. Разделить треугольник на два прямоугольника и найти высоту одного из них.

Давайте воспользуемся формулой для высоты правильного треугольника. Для этого разделим треугольник на две равнобедренные треугольные половинки.
Проведем высоту одной из половинок треугольника, соединив вершину прямоугольного угла с серединой противоположной стороны.

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\]
где \(a\) - длина стороны основания треугольной призмы.

Подставим значение \(a = 2\sqrt{3}\) и рассчитаем высоту \(h\):
\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Теперь, когда у нас есть периметр основания (\(P = 6\sqrt{3}\)) и высота (\(h = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)), мы можем вычислить площадь боковой грани призмы.
\[S_{\text{бок}} = P \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27\]

Так как призма имеет две боковые грани, общая площадь боковой поверхности равна \(2 \cdot S_{\text{бок}} = 2 \cdot 27 = 54\).

Осталось найти площадь основания призмы. Площадь основания правильного треугольника можно найти с помощью формулы:
\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]
где \(a\) - длина стороны основания.

Подставим значение \(a = 2\sqrt{3}\) в формулу:
\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}\]

Так как призма имеет два основания одинаковой площади, общая площадь оснований равна \(2 \cdot S_{\text{осн}} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\).

И, наконец, площадь полной поверхности призмы составляет сумму площадей боковых граней и оснований:
\[S_{\text{полн}} = 2 \cdot S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}} = 2 \cdot 27 + 2 \cdot 3\sqrt{3} = 54 + 6\sqrt{3}\]

Итак, площадь полной поверхности данной треугольной призмы равна \(54 + 6\sqrt{3}\) или можно вынести общий множитель 6:
\[S_{\text{полн}} = 6 \cdot (9 + \sqrt{3})\]