Какова площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды с диагональю основания, равной корню из

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам понадобится знание формулы для вычисления площади боковой поверхности и площади основания.

Давайте начнем с вычисления площади боковой поверхности. Пирамида имеет четыре боковых грани, которые представляют собой четыре равномерных треугольника. Мы можем использовать формулу для площади треугольника, которая определена как половина произведения длины основания и высоты треугольника:

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times сторона_{основания} \times высота \]

В нашем случае, у нас есть угол наклона бокового ребра к плоскости основания, равный 45 градусам. Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре боковых грани, которые являются равнобедренными треугольниками. То есть, сторона основания равна диагонали основания.

Диагональ основания равна корню из 2. Для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c, связанными по теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2. В данном случае прямоугольный треугольник с катетами равными 1 и 1, а значит гипотенуза равна корню из 2.

Теперь мы знаем сторону основания (диагональ основания) и можем найти боковую сторону треугольника. Поскольку боковое ребро наклонено под углом 45 градусов к плоскости основания, оно является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными стороне основания. Следовательно, боковая сторона равна \(\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1\).

Теперь мы можем использовать формулу для площади боковой поверхности:

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times 1 \times высота \]

Но у нас нет информации о высоте треугольника. Однако мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту треугольника. Высота может быть найдена как катет прямоугольного треугольника, где один катет равен половине стороны основания (1/2):

\[ высота = \sqrt{\text{гипотенуза}^2 - \text{катет}^2} = \sqrt{2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{2}} \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу для площади боковой поверхности:

\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \]

Теперь найдем площадь основания. Основание пирамиды - это квадрат, и мы знаем, что диагональ основания равна \(\sqrt{2}\). Чтобы найти площадь квадрата, мы можем использовать формулу: \( S_{квадрата} = a^2 \), где \( a \) - сторона квадрата.

Диагональ основания равна стороне квадрата, значит \( a = \sqrt{2} \). Площадь основания равна:

\[ S_{осн} = (\sqrt{2})^2 = 2 \]

Теперь, чтобы найти полную поверхность пирамиды, мы можем сложить площадь боковой поверхности и площадь основания:

\[ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \frac{\sqrt{6}}{4} + 2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности данной пирамиды равна \(\frac{\sqrt{6}}{4} + 2\).