Какова площадь полной поверхности правильного тетраэдра, у которого длина ребра в 4 раза меньше, чем у данного

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать формулу для вычисления площади полной поверхности правильного тетраэдра.

Площадь полной поверхности правильного тетраэдра можно вычислить с помощью следующей формулы:

\[S = \sqrt{3}a^2,\]

где \(S\) - площадь полной поверхности, \(a\) - длина ребра тетраэдра.

Дано, что площадь поверхности данного тетраэдра равна 80. Пусть длина ребра данного тетраэдра равна \(x\). Тогда длина ребра искомого тетраэдра будет равна \(\frac{x}{4}\), так как она в 4 раза меньше.

Теперь подставим значения в формулу, чтобы вычислить площадь искомого тетраэдра:

\[S = \sqrt{3}\left(\frac{x}{4} \right)^2 = \sqrt{3}\cdot\frac{x^2}{16} = \frac{\sqrt{3}}{16}x^2.\]

Мы также знаем, что площадь поверхности искомого тетраэдра равна 80. Поэтому, уравняем полученное выражение для площади с 80:

\[\frac{\sqrt{3}}{16}x^2 = 80.\]

Чтобы найти площадь полной поверхности, нам нужно вычислить значение \(x\). Для этого умножим обе части уравнения на \(\frac{16}{\sqrt{3}}\):

\[x^2 = \frac{16\cdot 80}{\sqrt{3}}.\]

Далее извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[x = \sqrt{\frac{16\cdot 80}{\sqrt{3}}}.\]

Таким образом, длина ребра искомого тетраэдра равна \(\sqrt{\frac{16\cdot 80}{\sqrt{3}}}\).

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности искомого тетраэдра, подставим найденное значение \(x\) в формулу для площади:

\[S = \sqrt{3}\left( \frac{\sqrt{\frac{16\cdot 80}{\sqrt{3}}}}{4} \right)^2.\]

После упрощения этого выражения, мы получим итоговый ответ на задачу: площадь полной поверхности искомого тетраэдра равна \(\sqrt{3} \cdot \frac{16\cdot 80}{3} = 256\).