Какова площадь полной поверхности конуса с образующей длиной 12 см и углом в 30 градусов с плоскостью основания?

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, мы должны сначала найти площади его боковой поверхности и основания, а затем сложить их.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти, используя формулу:

\[S_{\text{бок}} = \pi \cdot r \cdot l,\]

где \(\pi\) (пи) - приближенное значение числа пи, \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса.

Для данной задачи нам известна образующая конуса (\(l = 12\) см), и нам нужно найти радиус основания (\(r\)).

Чтобы найти радиус основания, нам нужно использовать тригонометрические соотношения синуса и косинуса, так как нам дан угол между образующей и плоскостью основания конуса (30 градусов) и известна длина образующей (12 см).

Мы можем использовать соотношение:

\[\sin\theta = \frac{r}{l},\]

где \(\theta\) - угол между образующей и плоскостью основания.

Зная значения угла (\(\theta = 30^\circ\)) и длины образующей (\(l = 12\) см), мы можем найти радиус основания (\(r\)).

\[\sin 30^\circ = \frac{r}{12}.\]

\[\frac{1}{2} = \frac{r}{12}.\]

Для решения этого уравнения, мы можем умножить обе стороны на 12:

\[6 = r.\]

Итак, радиус основания (\(r\)) равен 6 см.

Теперь у нас есть все значения, чтобы вычислить площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot 6 \cdot 12.\]

Округлим значение числа пи (\(\pi\)) до двух десятичных знаков, примерно 3.14:

\[S_{\text{бок}} \approx 3.14 \cdot 6 \cdot 12.\]

Вычислим это значение:

\[S_{\text{бок}} \approx 226.08\text{ см}^2.\]

Теперь давайте найдем площадь основания конуса.

Площадь основания конуса это площадь круга с радиусом \(r\). Формула для площади круга:

\[S_{\text{осн}} = \pi \cdot r^2.\]

Подставим значение радиуса (\(r = 6\) см):

\[S_{\text{осн}} = \pi \cdot 6^2.\]

Округлим значение числа пи (\(\pi\)) до двух десятичных знаков, примерно 3.14:

\[S_{\text{осн}} \approx 3.14 \cdot 6^2.\]

Вычислим площадь основания:

\[S_{\text{осн}} \approx 3.14 \cdot 36.\]

\[S_{\text{осн}} \approx 113.04\text{ см}^2.\]

Теперь, чтобы найти полную площадь поверхности конуса, мы сложим площадь боковой поверхности и площадь основания:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}.\]

\[S_{\text{полн}} = 226.08 + 113.04.\]

Вычислим полную площадь поверхности конуса:

\[S_{\text{полн}} = 339.12\text{ см}^2.\]

Итак, площадь полной поверхности конуса с образующей длиной 12 см и углом в 30 градусов с плоскостью основания равна приблизительно 339.12 квадратных сантиметра.