Какова площадь полной поверхности конуса, если сечение, параллельное основанию, делит высоту в соотношении

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые формулы для нахождения площадей поверхностей конусов. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

1. Сначала нам необходимо понять, как сечение, параллельное основанию, делит высоту конуса в соотношении 1:3. Обозначим высоту конуса через \(h\). Согласно условию, отсчитывая от вершины конуса, \(h_1 = \frac{1}{4} h\), а \(h_2 = \frac{3}{4} h\).

2. Далее, в задаче говорится, что нам известна площадь полной поверхности отсеченного конуса. Обозначим её через \(S_2\). Чтобы использовать эту информацию, нам нужно знать формулу для нахождения площади поверхности конуса.

3. Формула для площади полной поверхности конуса: \(S = \pi r^2 + \pi r l\), где \(r\) - радиус основания конуса, а \(l\) - образующая.

4. В данной задаче у нас отсеченный конус, поэтому мы не знаем радиус основания конуса. Однако, нам известно соотношение между площадью полной поверхности отсеченного конуса \(S_2\) и площадью полной поверхности исходного конуса \(S\).

5. Из условия задачи ясно, что отношение площадей отсеченного исходного конусов равно отношению квадратов радиусов оснований. Обозначим радиусы оснований исходного и отсеченного конусов через \(R\) и \(r_2\) соответственно. Тогда \(S_2 = \frac{{r_2^2}}{{R^2}} S\).

6. Чтобы найти площадь полной поверхности исходного конуса \(S\), нужно выразить её через известные нам значения исходного конуса.

7. Мы можем заметить, что отрезок, соединяющий вершину конуса и точку деления высоты, является образующей исходного конуса. Обозначим его длину через \(l_1\). Так как сечение, параллельное основанию, делит высоту в соотношении 1:3, то \(l_1 = \frac{3}{4} h\).

8. Теперь мы можем записать формулу для площади полной поверхности исходного конуса \(S\) с использованием известных нам значений:
\[
S = \pi R^2 + \pi R l_1
\]
Подставив \(l_1 = \frac{3}{4} h\), получим:
\[
S = \pi R^2 + \pi R \cdot \frac{3}{4} h
\]

9. Мы уже знаем формулу для нахождения площади полной поверхности отсеченного конуса:
\[
S_2 = \pi r_2^2 + \pi r_2 l_2
\]
где \(l_2\) - образующая отсеченного конуса. Но, как мы установили ранее, \(l_2\) равняется \(h_2\).

10. Подставляя значения \(h_2 = \frac{3}{4} h\) в формулу для площади полной поверхности отсеченного конуса, получаем:
\[
S_2 = \pi r_2^2 + \pi r_2 \cdot \frac{3}{4} h
\]

11. После всех этих выкладок, у нас получилась система уравнений:
\[
\begin{cases}
S = \pi R^2 + \pi R \cdot \frac{3}{4} h \\
S_2 = \pi r_2^2 + \pi r_2 \cdot \frac{3}{4} h
\end{cases}
\]

12. Наша задача состоит в нахождении площади полной поверхности исходного конуса \(S\). Для этого мы можем решить систему уравнений относительно \(S\).

13. Сначала выразим \(h\) из первого уравнения системы:
\[
h = \frac{4S}{3\pi R}
\]

14. Затем подставим это выражение для \(h\) во второе уравнение системы:
\[
S_2 = \pi r_2^2 + \pi r_2 \cdot \frac{3}{4} \left(\frac{4S}{3\pi R}\right)
\]

15. Упростив это уравнение, получаем:
\[
S_2 = \pi r_2^2 + \pi r_2 \cdot \frac{S}{R}
\]

16. Теперь выразим \(S\) из этого уравнения:
\[
S = \frac{S_2R}{\pi r_2} - \pi r_2^2
\]

17. Итак, мы получили формулу для площади полной поверхности исходного конуса \(S\) в зависимости от известных величин \(S_2\), \(R\) и \(r_2\).

Это пошаговое решение задачи о нахождении площади полной поверхности конуса с заданным соотношением отсеченного конуса относительно высоты и известной площадью полной поверхности отсеченного конуса.