Какова площадь полной поверхности конуса, если осевое сечение представляет собой равнобедренный прямоугольный

Для решения задачи о площади полной поверхности конуса с осевым сечением в форме равнобедренного прямоугольного треугольника с периметром, равным \(16 \cdot (2 + \sqrt{3})\), мы можем использовать следующий шаги:

Шаг 1: Найдите длину основания равнобедренного прямоугольного треугольника.
Для этого найдем полупериметр \(p\) треугольника, используя данный периметр:
\[p = \frac{16 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2} = 8 \cdot (2 + \sqrt{3}).\]
Так как треугольник равнобедренный, основание будет составлять половину периметра минус катет прямоугольного треугольника:
\[a = p - \sqrt{3}a,\]
где \(a\) - длина основания треугольника.
Раскроем скобки и решим уравнение:
\[a = 8 \cdot (2 + \sqrt{3}) - \sqrt{3}a.\]
\[a = 16 + 8\sqrt{3} - \sqrt{3}a.\]
\[a + \sqrt{3}a = 16 + 8\sqrt{3}.\]
\[(1 + \sqrt{3})a = 16 + 8\sqrt{3}.\]
\[a = \frac{16 + 8\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}.\]
\[a \approx 7.464.\]

Шаг 2: Найдите высоту равнобедренного прямоугольного треугольника.
Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника.
Поскольку треугольник равнобедренный, высота будет равна:
\[h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\]
Подставляем найденное значение основания:
\[h = \frac{7.464 \cdot \sqrt{3}}{2} \approx 6.464.\]

Шаг 3: Найдите боковую поверхность конуса.
Боковая поверхность конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием, равным периметру осевого сечения.
Поэтому боковая поверхность будет равна полупериметру осевого сечения, умноженному на высоту:
\[S_{\text{бок}} = \frac{p \cdot h}{2} = \frac{8 \cdot (2 + \sqrt{3}) \cdot 6.464}{2} = 25.856.\]

Шаг 4: Найдите площадь основания конуса.
Площадь основания конуса равна площади равнобедренного прямоугольного треугольника:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 7.464 \cdot 6.464 = 24.124.\]

Шаг 5: Найдите полную площадь поверхности конуса.
Полная площадь поверхности конуса равна сумме боковой поверхности и площади основания:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 25.856 + 24.124 = 49.980.\]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса с осевым сечением в форме равнобедренного прямоугольного треугольника с периметром \(16 \cdot (2 + \sqrt{3})\) составляет около 49.980 квадратных единиц.