Какова площадь полной поверхности данной треугольной призмы, у которой боковое ребро в два раза больше стороны

Для решения данной задачи, давайте разобъем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Понять структуру треугольной призмы

Треугольная призма имеет три треугольные грани в качестве оснований и три боковых ребра, которые соединяют вершины оснований. Чтобы найти площадь полной поверхности, мы должны найти площадь каждой грани и сложить их все вместе.

Шаг 2: Найти сторону основания и боковое ребро

Из условия задачи известно, что боковое ребро в два раза больше стороны основания. Обозначим сторону основания треугольной призмы как \(a\), а боковое ребро как \(2a\).

Шаг 3: Найти длины боковых ребер и высоту призмы

Сумма длин всех ребер призмы равна, но в условии задачи не указаны конкретные значения. Поэтому давайте обозначим сумму длин всех ребер как \(S\).

Итак, у нас есть боковое ребро \(2a\) и длины двух других ребер. Обозначим длину одного из этих двух ребер как \(b\), а другого как \(c\).

Таким образом, мы можем записать уравнение суммы длин всех ребер:

\[2a + b + c = S\]

Шаг 4: Найти площадь треугольных граней

Для нахождения площади грани треугольной призмы, мы можем использовать формулу для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту. Так как все стороны треугольной призмы неизвестны, нет возможности найти высоту сразу. Однако, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы ее найти.

Шаг 5: Применить теорему Пифагора

В треугольной призме, боковое ребро \(2a\) является гипотенузой прямоугольного треугольника. Сторона основания \(a\) и высота призмы \(h\) являются катетами этого треугольника. Применяя теорему Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:

\[a^{2} + h^{2} = (2a)^{2}\]

Шаг 6: Найти высоту призмы

Решим уравнение Пифагора для высоты призмы:

\[a^{2} + h^{2} = 4a^{2}\]
\[h^{2} = 4a^{2} - a^{2}\]
\[h^{2} = 3a^{2}\]
\[h = \sqrt{3a^{2}}\]
\[h = a \sqrt{3}\]

Шаг 7: Найти площадь треугольной грани

Так как у нас имеется треугольная грань с основанием \(a\) и высотой \(a \sqrt{3}\), мы можем вычислить ее площадь по формуле:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}\]

Шаг 8: Найти площадь полной поверхности треугольной призмы

Площадь полной поверхности треугольной призмы равна сумме площади всех граней. Так как у нас есть три треугольные грани и их площадь одинакова (обозначим ее как \(S_{\text{треугольника}}\)), мы можем записать:

\[S_{\text{полная}} = 3 \cdot S_{\text{треугольника}}\]
\[S_{\text{полная}} = 3 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}\]
\[S_{\text{полная}} = \frac{3a^{2} \sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, площадь полной поверхности данной треугольной призмы равна \(\frac{3a^{2} \sqrt{3}}{2}\), где \(a\) - это сторона основания призмы.