Какова площадь полной поверхности данной прямой призмы, если ее боковое ребро равно 4, а основание - равнобедренная

Хорошо, давайте рассмотрим задачу о площади полной поверхности данной прямой призмы. Для начала, нам необходимо понять, какая формула будет использована для решения этой задачи.

Формула для нахождения площади полной поверхности призмы выглядит следующим образом:

\[S_{\text{пол}} = 2S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}\]

где \(S_{\text{пол}}\) - площадь полной поверхности призмы, \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности призмы, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания призмы.

Теперь пошагово разберем нашу задачу. У нас есть данные: боковое ребро равно 4, а основание - равнобедренная трапеция, у которой боковая сторона равна 5, а основания равны 13.

1. Рассчитаем площадь боковой поверхности призмы (\(S_{\text{бок}}\)).
Формула для площади боковой поверхности призмы: \(S_{\text{бок}} = p \cdot h\)
где \(p\) - периметр основания призмы, \(h\) - высота боковой грани призмы.

Так как основание нашей призмы является равнобедренной трапецией, ее периметр (\(p\)) может быть найден следующим образом:
\(p = a + b_1 + b_2\),
где \(a\) - длина боковой стороны трапеции, а \(b_1\) и \(b_2\) - основания трапеции.

В нашей задаче \(a = 5\), \(b_1 = b_2 = 13\), следовательно, \(p = 5 + 13 + 13 = 31\).

Также нам нужно рассчитать высоту боковой грани призмы (\(h\)). В данной задаче это боковое ребро, которое равно 4.

Подставим значения в формулу:
\(S_{\text{бок}} = 31 \cdot 4 = 124\).

2. Рассчитаем площадь основания призмы (\(S_{\text{осн}}\)).
Площадь основания призмы определяется формулой площади трапеции. Для равнобедренной трапеции с основаниями \(b_1\) и \(b_2\) и высотой \(h\) ее площадь можно найти по следующей формуле:
\(S_{\text{осн}} = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h\).

В нашей задаче \(b_1 = b_2 = 13\) и нам неизвестна высота трапеции. Однако, мы можем найти высоту, используя теорему Пифагора, так как данное основание является прямоугольным треугольником с катетами \(13\) и \(h\). Поэтому, применим теорему Пифагора:
\(a^2 + b^2 = c^2\),
где \(a\) и \(b\) - катеты, а \(c\) - гипотенуза.

В нашем случае, \(a = h\) и \(b = \frac{13}{2}\) (перпендикуляр из верхней вершины трапеции, соединяющийся с серединой основания трапеции). Используем теорему Пифагора:
\(h^2 + \left(\frac{13}{2}\right)^2 = 13^2\).

Решая данное уравнение, получаем \(h = 12\).

Подставляем полученные значения в формулу:
\(S_{\text{осн}} = \frac{13 + 13}{2} \cdot 12 = 156\).

3. Наконец, найдем площадь полной поверхности призмы (\(S_{\text{пол}}\)) с использованием формулы:
\(S_{\text{пол}} = 2S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}\).

Подставим значения:
\(S_{\text{пол}} = 2 \times 124 + 156 = 248 + 156 = 404\).

Таким образом, площадь полной поверхности данной прямой призмы равна 404.