1. Если площадь параллелограмма составляет 90 квадратных сантиметров и сторона AD равна 12 сантиметрам, найдите высоту

Конечно! Вот подробные решения по каждой задаче:

1. Чтобы найти высоту BH параллелограмма, мы можем использовать формулу площади параллелограмма: \(S = \text{сторона AD} \times \text{высота BH}\).

Из условия задачи известно, что площадь параллелограмма равна 90 квадратных сантиметров (\(S = 90 \, \text{см}^2\)) и сторона AD равна 12 сантиметрам. Давайте подставим эти значения в формулу и найдем высоту BH.

\[90 = 12 \times \text{высота BH}\]

Чтобы найти высоту BH, разделим обе стороны уравнения на 12:

\[\frac{90}{12} = \text{высота BH}\]

Вычислим это:

\[\frac{90}{12} = 7,5 \, \text{см}\]

Таким образом, высота BH параллелограмма равна 7,5 сантиметрам.

2. Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции ABCD, мы можем использовать формулу: \(S = \frac{{\text{сумма оснований}} \times \text{высота}}{2}\).

Из условия задачи известно, что боковая сторона AB равна 10 сантиметрам, большее основание AD равно 18 сантиметрам и \(\angle D = 45^\circ\). Давайте найдем высоту этой трапеции.

Мы знаем, что прямые AD и BC параллельны, поэтому AG является высотой этой трапеции.

Для нахождения AG, мы можем использовать тангенс угла D:

\(\tan(D) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}\)

Так как \(\angle D = 45^\circ\) и противолежащая сторона равна 10 сантиметрам, а прилежащая равна 18 сантиметрам, подставим значения в формулу и найдем значение тангенса:

\(\tan(45^\circ) = \frac{{10}}{{18}}\)

Давайте вычислим это:

\(\tan(45^\circ) = 0,555\)

Теперь, чтобы найти высоту AG, можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AGB:

\(AG^2 + BG^2 = AB^2\)

Мы уже знаем значение BG (равно высоте BH из предыдущей задачи) и AB равно 10 сантиметрам. Подставим значения и решим уравнение:

\(AG^2 + 7,5^2 = 10^2\)

\(AG^2 + 56,25 = 100\)

\(AG^2 = 100 - 56,25\)

\(AG^2 = 43,75\)

\(AG = \sqrt{43,75}\)

\(AG = 6,612\) (округленно до тысячных)

Теперь, чтобы найти площадь трапеции ABCD, мы можем использовать формулу:

\(S = \frac{{(AD + BC) \times AG}}{2}\)

Подставим значения и вычислим площадь:

\(S = \frac{{(18 + 10) \times 6,612}}{2}\)

\(S = \frac{{28 \times 6,612}}{2}\)

\(S = \frac{{185,136}}{2}\)

\(S = 92,568\) (округленно до тысячных)

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции ABCD равна 92,568 квадратных сантиметров.

3. Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции ABCD, сначала нам нужно найти высоту и одно из оснований данной трапеции.

Из условия задачи известно, что диагональ AC прямоугольной трапеции перпендикулярна к боковой стороне CD и образует угол 60 градусов с основанием AD. Также известно, что AD = 24 сантиметра.

Чтобы найти высоту AH трапеции, мы можем использовать формулу синуса:

\(\sin(60^\circ) = \frac{{\text{противолежащая сторона}}}{{\text{гипотенуза}}}\)

В треугольнике ACH, противолежащая сторона - это высота AH, а гипотенуза - это сторона AC (диагональ трапеции).

Подставим значение угла и гипотенузы в формулу и найдем значение синуса:

\(\sin(60^\circ) = \frac{{AH}}{{AC}}\)

\(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{AH}}{{AC}}\)

Чтобы найти высоту AH, перегруппируем уравнение:

\(AH = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \times AC\)

Теперь, чтобы найти сторону AC, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ADC:

\(AD^2 = AC^2 + CD^2\)

Мы уже знаем, что AD = 24 сантиметра. Подставим это значение и решим уравнение:

\(24^2 = AC^2 + CD^2\)

\(576 = AC^2 + CD^2\)

Теперь используем информацию, что диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, поэтому длины AC и CD образуют прямоугольный треугольник.

Таким образом, \(AC^2 = CD^2\).

Заменим это в уравнении:

\(576 = AC^2 + AC^2\)

\(576 = 2AC^2\)

Поделим обе стороны на 2:

\(288 = AC^2\)

\(AC = \sqrt{288}\)

\(AC = 16,97\) (округленно до сотых)

Теперь, чтобы найти высоту AH, подставим значения в формулу:

\(AH = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \times 16,97\)

\(AH = 14,72\) (округленно до сотых)

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольной трапеции ABCD, мы можем использовать формулу:

\(S = \frac{{(AD + BC) \times AH}}{2}\)

Мы уже знаем, что AD = 24 сантиметра. Однако, нам нужно найти BC.

Заметим, что ABCD - прямоугольная трапеция, поэтому AD || BC. Так как прямоугольная трапеция ABCD, то ABC и BCD являются прямыми углами.

Таким образом, получаем прямоугольник ABCD, в котором основания AD и BC являются сторонами прямоугольника, а высота AH является высотой прямоугольника.

Значит, BC = AD = 24 сантиметра.

Теперь, подставим значения в формулу и найдем площадь:

\(S = \frac{{(24 + 24) \times 14,72}}{2}\)

\(S = \frac{{48 \times 14,72}}{2}\)

\(S = 355,85\) (округленно до сотых)

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции ABCD равна 355,85 квадратных сантиметров.

4. Чтобы найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, нам нужно знать длину гипотенузы.

Из условия задачи известно, что длина гипотенузы составляет 42 сантиметра (\(c = 42 \, \text{см}\)).

Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, то мы знаем, что катеты (длины ног треугольника) равны друг другу.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину каждого катета:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Где a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы.

Подставим значение длины гипотенузы в уравнение:

\[a^2 + b^2 = 42^2\]

Так как треугольник равнобедренный, то a = b. Подставим это в уравнение:

\[a^2 + a^2 = 42^2\]

Упростим выражение:

\[2a^2 = 42^2\]

Разделим обе стороны на 2:

\[a^2 = \frac{{42^2}}{2}\]

\[a^2 = 882\]

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[a = \sqrt{882}\]

\[a = 29,70\] (округленно до сотых)

Таким образом, длина каждого катета равна 29,70 сантиметрам.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу:

\[S = \frac{{a \times b}}{2}\]

Подставим значения и вычислим площадь:

\[S = \frac{{29,70 \times 29,70}}{2}\]

\[S = \frac{{882,09}}{2}\]

\[S = 441,05\] (округленно до сотых)

Таким образом, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 441,05 квадратных сантиметров.

Я готов помочь вам в чем угодно.