Какова площадь полной поверхности данной правильной шестиугольной призмы, если сторона ее основания составляет 6

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Сначала, давайте найдем длину большой диагонали основания призмы. Для этого нам понадобится теорема косинусов. В данном случае у нас известны две стороны и угол между ними.

Используя теорему косинусов, мы можем выразить длину большой диагонали (d) следующим образом:

\[d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где a и b - стороны треугольника, C - угол между ними. В данном случае a = b = 6 см и C = 60 градусов.

Подставляя значения в формулу, получим:

\[d^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)\]

Вычисляем:

\[d^2 = 36 + 36 - 72 \cdot \frac{1}{2} = 36 + 36 - 36 = 36\]

Возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[d = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\]

Таким образом, длина большой диагонали основания призмы составляет 6 см.

2. Далее, найдем площадь одной из боковых граней призмы. Поскольку у нас правильная шестиугольная призма, каждая боковая грань будет шестиугольником с равными сторонами. Таким образом, мы можем использовать формулу площади шестиугольника:

\[S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2\]

Где \(S_1\) - площадь одной боковой грани, a - длина стороны основания (6 см).

Подставляя значения в формулу, получим:

\[S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 6^2\]

Вычисляем:

\[S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 54\sqrt{3} \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь одной боковой грани призмы равна \(54\sqrt{3}\) квадратных сантиметра.

3. Для нахождения площади полной поверхности призмы, мы должны учесть еще две основы призмы, которые также являются правильными шестиугольниками. Таким образом, площадь полной поверхности (S) будет состоять из трех боковых граней (3S1) плюс две основы, каждая из которых имеет площадь равную площади одной шестиугольной грани, а именно \(S_1\).

Подставляя значения в формулу для площади полной поверхности, получим:

\[S = 3S_1 + 2S_1 = 3 \cdot 54\sqrt{3} + 2 \cdot 54\sqrt{3}\]

Вычисляем:

\[S = 162\sqrt{3} + 108\sqrt{3} = 270\sqrt{3}\]

Итак, площадь полной поверхности данной правильной шестиугольной призмы составляет \(270\sqrt{3}\) квадратных сантиметра.

Надеюсь, этот ответ был полезным и понятным для школьника. Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.