1. Каков угол между прямыми C1D1 и DE в правильной шестиугольной призме, если боковое ребро вдвое длиннее, чем сторона

Для решения этих задач о нам потребуется знание геометрии и свойств правильной шестиугольной призмы.

1. Каков угол между прямыми C1D1 и DE в правильной шестиугольной призме, если боковое ребро вдвое длиннее, чем сторона основания?

Для начала, давайте вспомним, что в правильной шестиугольной призме все боковые грани являются равносторонними треугольниками, так как все стороны основания и высота призмы равны.

Пусть сторона основания призмы равна \(a\), а боковое ребро равно \(2a\).

Обозначим точку пересечения прямых C1D1 и DE как точку M.

Так как M является серединой ребра DE, то линия CM будет являться высотой равностороннего треугольника C1DE.

Теперь давайте построим некоторые вспомогательные линии и фигуры для лучшего понимания.

Обозначим точку K на боковой грани с основанием C1DE, такую что CK перпендикулярно DE.

Также, обозначим точку L на боковой грани с основанием C1DE, такую что CL перпендикулярно C1DE.

Мы знаем, что треугольник C1KL является равносторонним, так как он является боковой гранью правильной шестиугольной призмы.

Теперь, когда у нас есть треугольник C1KL, мы можем выяснить угол между прямыми C1D1 и DE.

Обозначим точку N, где линия KL пересекает прямую C1D1.

Треугольник C1KN является прямоугольным, так как линия CK перпендикулярна DE (по построению) и линия CK является высотой равностороннего треугольника C1DE.

Заметим, что угол NCK является углом между прямыми C1D1 и DE, поэтому мы можем рассчитать его.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник C1KN, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка KN:

\[KN = \sqrt{(CK^2 - CK_1^2)}\]

Теперь мы можем использовать тангенс угла NCK, чтобы вычислить сам угол:

\[\text{Угол NCK} = \arctan\left(\frac{{CK_1}}{{KN}}\right)\]

2. Какой угол образуется между прямыми FC1 и FF1 в этой правильной шестиугольной призме, где длина бокового ребра вдвое больше, чем длина стороны основания?

Аналогично предыдущей задаче, введем обозначения и построим вспомогательные линии.

Пусть длина стороны основания призмы равна \(a\), а длина бокового ребра равна \(2a\).

Обозначим точку G на боковой грани с основанием C1FE, такую что FG перпендикулярно FF1.

Также, пусть H - точка пересечения линий FC1 и GG1.

Мы знаем, что треугольник C1FH является равносторонним и аккуратно построенный.

Треугольник GG1F тоже равносторонний, так как его боковые грани равносторонние треугольники.

Обозначим точку I, где линия GG1 пересекает прямую FC1.

Мы также можем обозначить точку J на боковой грани с основанием C1FE, такую что LJ перпендикулярна GG1.

Мы снова можем использовать теорему Пифагора, чтобы вычислить длину отрезка HI:

\[HI = \sqrt{(IH^2 - JH^2)}\]

Теперь мы можем использовать тангенс угла IHJ, чтобы найти сам угол:

\[\text{Угол IHJ} = \arctan\left(\frac{{JH}}{{HI}}\right)\]

Так как угол IHJ образуется между прямыми FC1 и FF1, нам нужно удвоить найденный угол для получения окончательного ответа.

Пожалуйста, примите во внимание, что вам могут понадобиться знания тригонометрии и геометрии для полного решения этих задач. Напомните, если у вас есть вопросы или нужда в дополнительном пояснении.