Какова площадь полной поверхности цилиндра, если сечение, параллельное его оси, отсекает от окружности основания дугу

Конечно, я помогу вам с решением этой задачи о площади полной поверхности цилиндра. Для начала нам нужно понять, какая информация нам дана.

У нас есть цилиндр с радиусом основания \(r = 8\) см. Сечение, параллельное оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120 градусов и образует угол 30 градусов между диагональю сечения и осью цилиндра.

Используя эти данные, мы можем рассчитать площадь полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из двух частей: площади боковой поверхности и площади двух оснований.

1. Площадь боковой поверхности цилиндра:
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \(A_{бок} = 2\pi rh\), где \(h\) - высота цилиндра.
В данной задаче нам известно, что длина дуги основания составляет 120 градусов. Полная окружность имеет угол 360 градусов, поэтому отношение длины дуги основания к окружности равно \(\frac{120}{360}\).
По формуле длины окружности \(C = 2\pi r\) мы можем найти длину окружности основания.

Чтобы найти высоту цилиндра, мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, диагональю сечения и высотой цилиндра. Угол между радиусом основания и диагональю сечения составляет 30 градусов, поэтому соответствующий угол прямоугольного треугольника будет 60 градусов.

Высота цилиндра может быть найдена как \(h = r \cdot \sin(60^\circ)\).

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета площади боковой поверхности цилиндра.

2. Площадь основания цилиндра:
Площадь окружности может быть найдена по формуле \(A_{осн} = \pi r^2\). В данном случае у нас 2 основания, так что площадь обоих оснований можно выразить как \(2A_{осн}\).

Теперь можно сложить площади боковой поверхности и двух оснований, чтобы найти общую площадь цилиндра.

Давайте вычислим все значения.