Какова площадь параллелограмма с общим углом с вписанным в ΔABC, имеющим наибольшую площадь, где стороны АВ=4см

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством параллелограмма, согласно которому площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону.

Первым шагом в решении задачи будет построение параллелограмма с данными условиями. Для этого нарисуем треугольник ABC, такой, что AB = 4 см, AC = 10 см и ∠A = 30°. Обратите внимание, что условие "общий угол со вписанным в ΔABC параллелограммом" означает, что один угол параллелограмма будет совпадать с углом A треугольника ABC.

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & & & \\
& A & & & & B \\
& \downarrow & & & & \downarrow \\
& & & \quad P & & \\
& & & & & \downarrow \\
& & & & & C \\
\end{array}
\]

Здесь P - одна из вершин параллелограмма, а AB - одна из его сторон. Нам нужно найти высоту параллелограмма, опущенную на сторону AB, чтобы вычислить его площадь.

Для начала построим высоту PH, которую опустим на основание AB. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как H. Так как угол A = 30°, а в параллелограмме противолежащие углы равны, получаем, что угол PHA также равен 30°.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник APH. Мы знаем, что AD = AC = 10 см (так как AD является высотой треугольника ABC), а угол PHA = 30°. Мы также знаем, что ADH = 90°, так как AD - это высота, опущенная из прямого угла. Таким образом, мы имеем все необходимые данные для вычисления высоты PH.

Применим тригонометрическую функцию тангенса, чтобы найти высоту PH. Тангенс угла PHA равен отношению противолежащего катета PH к прилежащему катету AH. Мы знаем, что значение тангенса 30° составляет \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), поэтому мы можем записать отношение:

\[
\tan(30°) = \frac{PH}{AH}
\]

Подставим известные значения:

\[
\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{PH}{AH}
\]

Умножим обе стороны уравнения на AH:

\[
PH = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot AH
\]

Мы знаем, что AH = AB = 4 см, поскольку грань AB является основанием параллелограмма. Подставим это значение:

\[
PH = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 \, \text{см} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \, \text{см}
\]

Таким образом, мы нашли высоту PH параллелограмма, опущенную на сторону AB. Теперь мы можем вычислить площадь параллелограмма, учитывая, что одной его стороной является AB = 4 см:

\[
S = AB \times PH = 4 \, \text{см} \times \frac{4\sqrt{3}}{3} \, \text{см} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \, \text{см}^2
\]

Таким образом, максимальная площадь параллелограмма с общим углом с вписанным треугольником ABC равна \(\frac{16\sqrt{3}}{3} \, \text{см}^2\).