Какова площадь параллелограмма, если все его стороны равны, периметр составляет 64 см, а один из углов, образуемых

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойства параллелограмма.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. В данном случае, у нас все стороны равны друг другу, поэтому длина каждой стороны будет равняться \(\frac{64 \, \text{см}}{4} = 16 \, \text{см}\).

Поскольку один из углов параллелограмма равен 75°, мы знаем, что противолежащий угол также будет равен 75°. Углы, образуемые диагональю и стороной параллелограмма, являются смежными, поэтому их сумма равна 180°. Предположим, что угол, образованный диагональю, равен \(x\) градусам. Тогда противолежащий угол также будет равен \(x\) градусам. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[x + x + 75° = 180°\]

Суммируя переменные, получим:

\[2x + 75° = 180°\]

Вычитая 75° из обеих сторон уравнения, получим:

\[2x = 105°\]

Деля на 2, получим значение \(x\):

\[x = \frac{105°}{2} = 52.5°\]

Поскольку стороны параллелограмма равны, диагонали, соединяющие противоположные вершины, также равны. Так как каждая сторона параллелограмма равна 16 см, длина каждой диагонали будет равна 16 см.

Теперь мы можем использовать формулу площади параллелограмма:

\[S = \text{основание} \times \text{высота}\]

В нашем случае, основание параллелограмма -- это одна из его сторон, которая равна 16 см. Высота -- это расстояние между этой стороной и противолежащей ей диагональю.

Чтобы найти высоту, мы можем использовать тригонометрию. Мы знаем, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором угол между основанием и высотой равен \(52.5°\). Так как мы знаем одну из сторон треугольника (16 см), а тангенс угла \(52.5°\) равен противолежащей стороне (высоте) поделенной на прилежащую сторону (16 см), мы можем использовать это для вычисления высоты.

\[\tan(52.5°) = \frac{\text{высота}}{16 \, \text{см}}\]

\[\text{высота} = 16 \, \text{см} \times \tan(52.5°)\]

Используя калькулятор, мы находим:

\[\text{высота} \approx 20.09 \, \text{см}\]

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма, мы умножаем основание на высоту:

\[S = 16 \, \text{см} \times 20.09 \, \text{см} \approx 321.44 \, \text{см}^2\]

Ответ: площадь этого параллелограмма составляет около 321.44 квадратных сантиметров.