Какова площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 21, а другая - 15, а косинус одного из его углов равен

Давайте решим все эти задачи пошагово и подробно.

1) Для нахождения площади параллелограмма, нам понадобятся две величины - длина одной его стороны и длина другой стороны, а также значение косинуса одного из его углов. Формула для нахождения площади параллелограмма выглядит следующим образом:

\[Площадь = a \cdot b \cdot \sin(\theta)\]

где \(a\) и \(b\) - длины сторон параллелограмма, а \(\theta\) - значение угла между ними.

В данной задаче у нас уже дано, что одна сторона параллелограмма равна 21, а другая - 15. Также дано значение косинуса угла \(\theta\), которое равно 3 корня из 5/7.

Сначала найдем синус угла \(\theta\), используя определение косинуса и факт, что \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\):

\[\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)\]
\[\sin^2(\theta) = 1 - \left(\sqrt{\frac{5}{7}}\right)^2\]
\[\sin^2(\theta) = 1 - \frac{5}{7}\]
\[\sin^2(\theta) = \frac{7}{7} - \frac{5}{7}\]
\[\sin^2(\theta) = \frac{2}{7}\]
\[\sin(\theta) = \sqrt{\frac{2}{7}}\]

Теперь подставим значения в формулу для площади параллелограмма:

\[Площадь = 21 \cdot 15 \cdot \sqrt{\frac{2}{7}}\]

После вычислений получаем:

\[Площадь = 315 \cdot \sqrt{\frac{2}{7}}\]

2) Для нахождения площади ромба нам понадобятся два параметра - периметр и значение синуса одного из углов. Формула для нахождения площади ромба выглядит следующим образом:

\[Площадь = \frac{p^2 \cdot \sin(\theta)}{2}\]

где \(p\) - периметр ромба, а \(\theta\) - значение угла.

В первой задаче нам уже даны значения периметра и синуса угла. Периметр равен 32, а синус угла равен 5/8.

Подставим значения в формулу:

\[Площадь = \frac{32^2 \cdot \sin\left(\arcsin\left(\frac{5}{8}\right)\right)}{2}\]

После вычислений получаем:

\[Площадь = 256 \cdot \frac{5}{8} = 160\]

3) Для нахождения площади ромба нам понадобится периметр и угол. В этой задаче нам дан периметр ромба, который равен 128, а также значение одного из его углов, равное 60 градусов.

Периметр ромба - это сумма длин его сторон. Так как ромб имеет все стороны равными, мы можем разделить периметр на 4, чтобы найти длину каждой стороны.

\[Длина \: стороны = \frac{128}{4} = 32\]

Теперь обратимся к определению площади ромба:

\[Площадь = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]

где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба. Поскольку в ромбе угол между диагоналями равен 60 градусов, мы можем использовать формулу для площади ромба в терминах его сторон:

\[Площадь = \frac{a^2 \cdot \sin(\theta)}{2}\]

\[Площадь = \frac{32^2 \cdot \sin(\pi/3)}{2}\]

После вычислений получаем:

\[Площадь = 512 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 128\sqrt{3}\]

4) Для нахождения площади ромба нам понадобится периметр и значение косинуса одного из его углов. В этой задаче нам дан периметр ромба, равный 144, а косинус одного из углов равен корень 65/9.

Периметр ромба - это сумма длин его сторон. Так как ромб имеет все стороны равными, мы можем разделить периметр на 4, чтобы найти длину каждой стороны.

\[Длина \: стороны = \frac{144}{4} = 36\]

Теперь обратимся к определению площади ромба:

\[Площадь = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]

где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба. Мы можем использовать формулу для площади ромба в терминах его сторон:

\[Площадь = a^2 \cdot \sin(\theta)\]

\[Площадь = 36^2 \cdot \sin(\arccos\left(\sqrt{\frac{65}{9}}\right))\]

После вычислений получаем:

\[Площадь = 1296 \cdot \sin(\arccos\left(\sqrt{\frac{65}{9}}\right))\]

Но, увы, здесь мы сталкиваемся с проблемой, так как функция \(\arccos\) (арккосинус) не может быть выражена аналитически точно в терминах общих чисел. Поэтому мы не можем дать точный числовой ответ. Мы можем только выразить площадь ромба в терминах функций.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам разобраться в решении данных задач. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!