Чему равны площадь и периметр равнобедренного треугольника АВС, если его боковая сторона равна √3, а угол при основании

Чтобы найти площадь и периметр равнобедренного треугольника АВС, мы можем использовать ряд свойств и формул, связанных с этим типом треугольников.

Давайте начнем с периметра треугольника. Периметр вычисляется как сумма длин всех сторон треугольника.

У нас есть информация о длине боковой стороны, которая равна \(\sqrt{3}\). Поскольку треугольник АВС равнобедренный, это означает, что две боковые стороны равны друг другу, поэтому сторона BC (также равная стороне AB) также равна \(\sqrt{3}\).

Теперь, чтобы найти третью сторону треугольника, мы можем использовать теорему косинусов. Теорема косинусов позволяет нам найти длину третьей стороны, зная длины двух сторон и угол между ними.

У нас есть две стороны треугольника, известные как стороны AB и AC, длина которых равна \(\sqrt{3}\). Задача говорит нам, что угол между ними составляет 30 градусов. Теперь мы можем использовать теорему косинусов для вычисления стороны BC.

Формула теоремы косинусов выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны, а C - угол между ними.

Подставляя наши значения, получим:

\[BC^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)\]

Упрощая выражение, получим:

\[BC^2 = 3 + 3 - 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[BC^2 = 6 - 3\sqrt{3}\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти BC:

\[BC = \sqrt{6 - 3\sqrt{3}}\]

Таким образом, мы нашли длины всех сторон треугольника. Теперь давайте найдем площадь.

Площадь равнобедренного треугольника может быть найдена с использованием следующей формулы:

\[S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 - c^4)}\]

Подставляя наши значения, получим:

\[S = \frac{1}{4} \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6 - 3\sqrt{3}})^2)^2 - 2((\sqrt{3})^4 + (\sqrt{3})^4 - (\sqrt{6 - 3\sqrt{3}})^4)}\]

Упрощая выражение, получим:

\[S = \frac{1}{4} \sqrt{6 - 2(6 - 3\sqrt{3}) + 2(\sqrt{6 - 3\sqrt{3}})^2}\]

\[S = \frac{1}{4} \sqrt{6 - 12 + 6\sqrt{3} + 2(6 - 3\sqrt{3})}\]

\[S = \frac{1}{4} \sqrt{12 - 12\sqrt{3} + 12 - 6\sqrt{3}}\]

\[S = \frac{1}{4} \sqrt{-24\sqrt{3} + 24}\]

\[S = \frac{1}{4} \sqrt{24(1 - \sqrt{3})}\]

Упрощая выражение, получим:

\[S = \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{6(1 - \sqrt{3})}\]

\[S = \frac{\sqrt{6(1 - \sqrt{3})}}{2}\]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника АВС с боковой стороной длиной \(\sqrt{3}\) и углом при основании 30 градусов равна \(\frac{\sqrt{6(1 - \sqrt{3})}}{2}\), а периметр равен \(3\sqrt{3}\).