Какова площадь общей части треугольника и квадрата, описанных вокруг круга радиуса r, где одна сторона квадрата лежит

Рассмотрим данную задачу более подробно. У нас есть круг радиуса \( r \), вокруг которого описаны треугольник и квадрат, причем одна сторона квадрата лежит на стороне треугольника. Наша задача состоит в нахождении площади общей части треугольника и квадрата.

Для начала, построим такую ситуацию:

\[
\begin{array}{cccc}
& & & \\
& & \circ & \\
& & & \\
\end{array}
\]

Здесь круг обозначен символом \( \circ \). Далее, нарисуем треугольник:

\[
\begin{array}{cccc}
& A & & \\
& & \circ & \\
& B & & \\
\end{array}
\]

Треугольник имеет стороны, две из которых пересекают круг радиуса \( r \). Обозначим точку пересечения круга и треугольника за \( A \). Также, по условию, одна сторона квадрата лежит на стороне треугольника. Обозначим точку пересечения стороны треугольника и стороны квадрата за \( B \). Осталось нарисовать квадрат:

\[
\begin{array}{cccc}
C & & & \\
& \square & \circ & \\
& & & D \\
\end{array}
\]

Таким образом, \( C \) и \( D \) обозначают вершины квадрата.

Теперь, обратимся к нахождению площади. Поскольку у нас имеются общие части треугольника и квадрата, мы должны вычислить площадь только этих общих частей.

У нас есть два треугольника: \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \). Рассмотрим площади этих треугольников отдельно.

Площадь треугольника \( \triangle ABC \) мы можем найти, используя формулу площади треугольника по трём сторонам — формула Герона. Однако, для этого нам нужно знать длины каждой из сторон \( AB \), \( BC \) и \( AC \).

Применим теорему Пифагора для треугольника \( \triangle ABC \). Мы знаем, что \( AC \) — это радиус круга \( r \). Также, поскольку одна из сторон квадрата лежит на стороне треугольника, можно сказать, что \( AB = BC \).

Используя теорему Пифагора, получим:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 \implies r^2 = AB^2 + AB^2 \implies 2 AB^2 = r^2 \implies AB = \frac{r}{\sqrt{2}}
\]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника \( \triangle ABC \), мы можем использовать формулу Герона:

\[
S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)}
\]

где \( p \) — полупериметр треугольника, вычисляется по формуле:

\[
p = \frac{AB + AC + BC}{2}
\]

Подставляя значения сторон, получим:

\[
p = \frac{\frac{r}{\sqrt{2}} + r + \frac{r}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{2r + r\sqrt{2}}{2} = \frac{r(2 + \sqrt{2})}{2}
\]

Теперь можем выразить площадь:

\[
S_{\triangle ABC} = \sqrt{\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} \left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} - r\right) \left(\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} - \frac{r}{\sqrt{2}}\right)}
\]

\[
= \sqrt{\frac{r^2(2 + \sqrt{2})}{2} \left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} - r\right) \left(\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} - \frac{r}{\sqrt{2}}\right)}
\]

\[
= \sqrt{\frac{r^2(2 + \sqrt{2})r}{2}\left(\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} - r\right) \left(\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} - \frac{r}{\sqrt{2}}\right)}
\]

\[
= \sqrt{\frac{r^3(2 + \sqrt{2})}{2}\left(\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} - r\right) \left(\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} - \frac{r}{\sqrt{2}}\right)}
\]

\[
= \sqrt{\frac{r^4(2 + \sqrt{2})}{8}\left(\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} - r\right) \left(\frac{r(2 + \sqrt{2})}{2} - \frac{r}{\sqrt{2}}\right)}
\]

После упрощения получаем:

\[
S_{\triangle ABC} = \frac{r^2\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}
\]

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle ABD \). Он является прямоугольным треугольником, так как угол \( ADB \) (треугольник \( \triangle ABD \)) является прямым, а диагональ квадрата делит его пополам.

Так как сторона квадрата равна стороне треугольника, то длина стороны \( AB \) также равна \( \frac{r}{\sqrt{2}} \).

Поэтому мы можем сразу найти площадь треугольника \( \triangle ABD \), используя формулу площади прямоугольного треугольника:

\[
S_{\triangle ABD} = \frac{AB \cdot AB}{2} = \frac{\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)^2}{2} = \frac{r^2}{2 \cdot 2} = \frac{r^2}{4}
\]

Таким образом, общая площадь треугольника и квадрата равна сумме площадей общих частей:

\[
S_{\text{общая}} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ABD} = \frac{r^2\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{r^2}{4}
\]

Упрощая данное выражение:

\[
S_{\text{общая}} = r^2 \left( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{1}{4} \right)
\]

Окончательный ответ:

\[
S_{\text{общая}} = 3r\sqrt{(7 - \sqrt{3})^2}
\]

Надеюсь, что ответ был понятен, и все шаги вычислений были пояснены в достаточной степени! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.