Какова площадь области, заключенной между графиками функций у =9-х² и у=2х+6?

Чтобы найти площадь области, заключенной между графиками функций \(y = 9 - х^2\) и \(y = 2х + 6\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определите точки пересечения двух графиков, чтобы найти пределы интегрирования. Точки пересечения могут быть найдены путем приравнивания уравнений и решения полученного квадратного уравнения.

Приравняв два уравнения, получим:
\[9 - х^2 = 2х + 6\]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
\[х^2 + 2х - 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня:
\[(х + 3)(х - 1) = 0\]

Таким образом, получаем две точки пересечения: \(х = -3\) и \(х = 1\).

2. Определите, какая из двух функций находится выше и ниже на интервалах между точками пересечения.

Для этого подставим значения \(х\) между точками пересечения в обе функции и сравним значения \(у\).

При подстановке \(х = -2\), получим:
\(y_1 = 9 - (-2)^2 = 9 - 4 = 5\)
\(y_2 = 2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2\)

Таким образом, функция \(y = 9 - х^2\) находится выше функции \(y = 2х + 6\) на интервале \([-3, -2]\).

При подстановке \(х = 0\), получим:
\(y_1 = 9 - 0^2 = 9\)
\(y_2 = 2(0) + 6 = 6\)

В данном случае функция \(y = 9 - х^2\) все еще находится выше функции \(y = 2х + 6\) на интервале \([-2, 0]\).

При подстановке \(х = 2\), получим:
\(y_1 = 9 - 2^2 = 9 - 4 = 5\)
\(y_2 = 2(2) + 6 = 4 + 6 = 10\)

Теперь функция \(y = 2х + 6\) находится выше функции \(y = 9 - х^2\) на интервале \([0, 1]\).

3. Вычислите интеграл от разности двух функций на каждом из интервалов.

Площадь области между графиками функций можно найти путем вычисления интеграла от разности функций на каждом из интервалов.

Первый интервал \([-3, -2]\):
\[S_1 = \int_{-3}^{-2} (9 - х^2) - (2х + 6) \, dx\]

Второй интервал \([-2, 0]\):
\[S_2 = \int_{-2}^{0} (9 - х^2) - (2х + 6) \, dx\]

Третий интервал \([0, 1]\):
\[S_3 = \int_{0}^{1} (2х + 6) - (9 - х^2) \, dx\]

Вычислим эти интегралы.