Какова площадь области, ограниченной следующими границами: y=-(2/9)x^2+(4/3)x?

Для решения этой задачи мы будем использовать метод подсчета площади под кривой. Площадь области, ограниченной кривой \(y = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{4}{3}x\), можно найти как разность между двумя интегралами.

Первым шагом нам нужно найти точки пересечения кривой с осью \(x\), то есть значения \(x\), при которых уравнение \(y = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{4}{3}x\) равно нулю. Чтобы решить это, мы должны приравнять \(y\) к нулю и решить полученное квадратное уравнение.

\[0 = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{4}{3}x\]

Стандартная форма квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) позволяет нам легко определить значения \(a\), \(b\) и \(c\). В этом случае \(a = -\frac{2}{9}\), \(b = \frac{4}{3}\) и \(c = 0\).

Подставляя значения в формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), мы получаем:

\[D = \left(\frac{4}{3}\right)^2 - 4\left(-\frac{2}{9}\right)(0)\]

Учитывая, что последний член равен нулю, упрощаем выражение:

\[D = \left(\frac{4}{3}\right)^2\]

Вычисляя, получаем:

\[D = \frac{16}{9}\]

Так как \(D > 0\), это означает, что уравнение имеет два разных корня. Чтобы найти эти корни, мы используем формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляя значения \(a\), \(b\) и \(D\), получаем:

\[x = \frac{-\frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9}}}{2 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right)}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[x = \frac{-\frac{4}{3} \pm \frac{4}{3}}{-\frac{4}{9}}\]

Как видите, числитель равен нулю, и мы получаем:

\[x = \frac{0}{-\frac{4}{9}}\]

Следовательно, одна из точек пересечения с осью \(x\) равна \(x = 0\).

Далее, чтобы найти вторую точку пересечения, нужно найти значение \(x\) при котором \(y = 0\). Подставляя это значение в уравнение \(y = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{4}{3}x\), мы получаем:

\[0 = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{4}{3}x\]

По аналогичным шагам, решаем это квадратное уравнение и получаем второе значение \(x\):