Какова площадь области, ограниченной параболами y=x^2 и y=x^3/3?

Чтобы найти площадь области, ограниченной парой парабол \(y = x^2\) и \(y = \frac{{x^3}}{3}\), нам нужно определить точки их пересечения. Затем мы интегрируем более высокую функцию минус менее высокую функцию от одной границы до другой, чтобы найти площадь между ними.

Давайте начнем с поиска точек пересечения этих двух парабол. Для этого приравняем их уравнения:

\[x^2 = \frac{{x^3}}{3}\]

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[3x^2 = x^3\]

Теперь перенесем все в одну сторону:

\[x^3 - 3x^2 = 0\]

Мы видим, что x является общим множителем, поэтому его можно вынести:

\[x(x^2 - 3x) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения x: x = 0 и x = 3.

Теперь, когда у нас есть точки пересечения парабол, давайте найдем площадь между ними. Для этого мы будем интегрировать высоту между функциями y = x^2 и y = \frac{{x^3}}{3} по x от 0 до 3.

Формула для нахождения площади между двумя функциями y = f(x) и y = g(x) для x, изменяющихся от a до b, задается следующим образом:

\[S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx\]

В нашем случае, f(x) = x^2, g(x) = \frac{{x^3}}{3}, a = 0 и b = 3.

Таким образом, площадь области ограниченной параболами y = x^2 и y = \frac{{x^3}}{3} вычисляется следующим образом:

\[S = \int_0^3 (x^2 - \frac{{x^3}}{3}) dx\]

Давайте проинтегрируем это:

\[S = \left[\frac{{x^3}}{3} - \frac{{x^4}}{12}\right]_0^3\]

Подставим верхний предел вместо х и вычислим:

\[S = \left[\frac{{3^3}}{3} - \frac{{3^4}}{12}\right] - \left[\frac{{0^3}}{3} - \frac{{0^4}}{12}\right]\]

\[S = \left[9 - \frac{27}{12}\right] - \left[0 - 0\right]\]

\[S = 9 - \frac{27}{12}\]

\[S = 9 - \frac{9}{4}\]

\[S = \frac{36}{4} - \frac{9}{4}\]

\[S = \frac{27}{4}\]

Таким образом, площадь области, ограниченной параболами \(y = x^2\) и \(y = \frac{{x^3}}{3}\), составляет \(\frac{27}{4}\) (или 6.75) квадратных единиц.