Какова площадь области ограниченной осью x и кривой с уравнением f(x) = 2x - x^2?

Чтобы найти площадь области, ограниченной осью x и кривой с уравнением \( f(x) = 2x - x^2 \), мы можем использовать метод интегрирования. Первым шагом будет найти точки пересечения кривой с осью x, чтобы определить пределы интегрирования.

Уравнение \( f(x) = 2x - x^2 \) является квадратным уравнением, которое может быть решено путем приравнивания к нулю:

\[ 2x - x^2 = 0 \]

Далее, давайте решим это уравнение, чтобы найти точки пересечения:
\[ x(2 - x) = 0 \]

Это уравнение имеет два решения: \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Это означает, что кривая пересекает ось x в точках (0, 0) и (2, 0).

Теперь мы должны интегрировать функцию \( f(x) = 2x - x^2 \) от \( x = 0 \) до \( x = 2 \), чтобы найти площадь области между кривой и осью x.

Формула для интеграла площади области между функцией \( f(x) \) и осью x выглядит следующим образом:
\[ A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

Здесь \( a \) и \( b \) - пределы интегрирования, а \( |f(x)| \) - абсолютное значение функции \( f(x) \).

В нашем случае, функция \( f(x) = 2x - x^2 \) всегда положительна в заданном диапазоне от 0 до 2, поэтому мы можем опустить модуль:

\[ A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx \]

Теперь найдем интеграл этой функции:
\[ A = \left. x^2 - \frac{{x^3}}{3} \right|_{0}^{2} \]

Вычислим значение этого интеграла:
\[ A = \left(2^2 - \frac{{2^3}}{3}\right) - \left(0^2 - \frac{{0^3}}{3}\right) \]
\[ A = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - 0 \]
\[ A = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} \]
\[ A = \frac{4}{3} \]

Таким образом, площадь области, ограниченной осью x и кривой с уравнением \( f(x) = 2x - x^2 \), равна \( \frac{4}{3} \) или около 1.33 квадратных единиц.