Какова площадь области, ограниченной графиками функций y=-1/2^2+x+5 1/2 и y=x^2-2x+1?

Хорошо, решим задачу о нахождении площади области, ограниченной графиками двух функций.

Итак, у нас есть две функции: \(y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{5}{2}\) и \(y = x^2 - 2x + 1\). Чтобы найти площадь области, ограниченной этими функциями, нам нужно определить точки их пересечения.

Для начала приравняем эти функции друг к другу и решим полученное уравнение:

\[-\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{5}{2} = x^2 - 2x + 1\]

На этом этапе получится квадратное уравнение. Приведём его к стандартному виду:

\[x^2 - 4x + 1 - \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{5}{2} = 0\]
\[-\frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{3}{2} = 0\]

Следующим шагом можно решить это уравнение с помощью квадратного трёхчлена или формулы дискриминанта.

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения. В данном случае \(a = -\frac{1}{2}\), \(b = -3\), \(c = -\frac{3}{2}\).

Вычислим дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 9 - 6 = 3\]

Дискриминант положительный, что означает, что у уравнения есть два действительных корня. Используя формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), найдём эти корни.

\[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{3}}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{3 + \sqrt{3}}{-1} = -3 - \sqrt{3}\]
\[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{3}}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{3 - \sqrt{3}}{-1} = -3 + \sqrt{3}\]

Теперь у нас есть две особых точки - точки пересечения графиков функций. Для удобства обозначим их как \(A\) и \(B\). Точка \(A\) имеет координаты \((-3 - \sqrt{3}, y_A)\), а точка \(B\) - \((-3 + \sqrt{3}, y_B)\).

Осталось только найти значения функций в этих точках. Подставим найденные значения \(x\) в уравнения функций и найдём соответствующие значения \(y\):

\(y_A = -\frac{1}{2}(-3 - \sqrt{3})^2 + (-3 - \sqrt{3}) + \frac{5}{2}\)
\(y_B = -\frac{1}{2}(-3 + \sqrt{3})^2 + (-3 + \sqrt{3}) + \frac{5}{2}\)

После всех вычислений получим значения \(y_A\) и \(y_B\).

Теперь у нас есть четыре точки: точка \(A\), точка \(B\) и точки перегиба графиков функций. Теперь, чтобы найти площадь области, ограниченной графиками функций, рассмотрим расположение этих точек на координатной плоскости.

Построим графики функций \(y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{5}{2}\) и \(y = x^2 - 2x + 1\) и отметим на них эти точки. Отрезки между графиками и осью \(x\) задают область, ограниченную этими функциями.

Используя графики и отмеченные точки, мы можем вычислить площадь области, ограниченной графиками функций.

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками функций \(y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{5}{2}\) и \(y = x^2 - 2x + 1\), может быть найдена с помощью построения графиков и проведения нужных измерений. Если у вас есть координатная плоскость или графический редактор, попробуйте построить графики и измерить площадь самостоятельно.