Какова площадь области, ограниченной графиками функций у=-6х-х^2 и у=-2х?

Чтобы найти площадь области, ограниченной графиками функций \(y=-6x-x^2\) и \(y=-2x\), можно использовать метод интегрирования. Он позволит найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками.

Для начала найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем уравнения \(y=-6x-x^2\) и \(y=-2x\):

\[-6x-x^2=-2x.\]

Приведем уравнение к виду \(x^2-4x=0\) и факторизуем его:

\[x(x-4)=0.\]

Получаем два возможных значения для \(x\): \(x=0\) и \(x=4\).

Подставим найденные значения \(x\) в уравнение \(y=-2x\) для нахождения соответствующих значений \(y\):

Для \(x=0\): \(y=-2(0)=0\).

Для \(x=4\): \(y=-2(4)=-8\).

Теперь у нас есть две точки пересечения графиков: (0, 0) и (4, -8).

Чтобы найти площадь области между графиками, нужно вычислить определенный интеграл от \(x=0\) до \(x=4\) разности \(y\) для обеих функций:

\[S=\int_{0}^{4}(y_1-y_2)dx,\]

где \(y_1=-6x-x^2\) и \(y_2=-2x\).

Выполним вычисления:

\[\begin{aligned}
S&=\int_{0}^{4}((-6x-x^2)-(-2x))dx\\
&=\int_{0}^{4}(-6x-x^2+2x)dx\\
&=\int_{0}^{4}(-4x-x^2)dx\\
&=\left[-2x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{4}\\
&=-2(4)^2-\frac{1}{3}(4)^3-(-2(0)^2 -\frac{1}{3}(0)^3)\\
&=-32-\frac{64}{3}\\
&=-\frac{160}{3}.
\end{aligned}\]

Таким образом, площадь области, ограниченной графиками функций \(y=-6x-x^2\) и \(y=-2x\), равна \(-\frac{160}{3}\) или приближенно \(-53.333\).

Теперь у нас есть подробное и пошаговое решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!