Каков объем усеченной пирамиды, если ее высота в два раза меньше высоты полной пирамиды, а объем последней составляет

Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть усеченная пирамида, высота которой в два раза меньше высоты полной пирамиды. Обозначим высоту полной пирамиды как \(h\) и высоту усеченной пирамиды как \(h_1\) (где \(h_1 = \frac{h}{2}\)).

Чтобы найти объем усеченной пирамиды, нам также понадобится знать общую формулу для объема пирамиды, которая выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h,\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Теперь посмотрим, что происходит в усеченной пирамиде. Усеченная пирамида имеет два основания: большее основание и меньшее основание. Пусть \(S_1\) - площадь большего основания, а \(S_2\) - площадь меньшего основания.

Мы знаем, что объем полной пирамиды равен \(V\), поэтому можем записать соотношение между объемами полной и усеченной пирамиды:

\[\frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot S_1 \cdot h_1.\]

Также у нас есть информация о высоте усеченной пирамиды \(h_1\), а также о том, что \(h_1 = \frac{h}{2}\). Подставим это значение в наше уравнение:

\[\frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot S_1 \cdot \left(\frac{h}{2}\right).\]

Чтобы найти объем усеченной пирамиды, осталось выразить \(S_1\) (площадь большего основания) через известные величины. Для этого применим теорему подобности треугольников.

По теореме подобности треугольников, соотношение между площадями подобных фигур равно квадрату соотношения длин сторон. В нашем случае стороны подобных треугольников это высоты пирамид.

Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{S_1}{S} = \left(\frac{h_1}{h}\right)^2.\]

Подставим значение \(h_1 = \frac{h}{2}\):

\[\frac{S_1}{S} = \left(\frac{\frac{h}{2}}{h}\right)^2.\]

Сократим дробь:

\[\frac{S_1}{S} = \left(\frac{1}{2}\right)^2.\]

Вычислим это:

\[\frac{S_1}{S} = \frac{1}{4}.\]

Теперь, чтобы выразить \(S_1\) через \(S\), умножим обе части на \(S\):

\[S_1 = \frac{1}{4} \cdot S.\]

Теперь мы можем вернуться к формуле объема усеченной пирамиды:

\[\frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot S_1 \cdot h_1.\]

Подставим значение \(S_1 = \frac{1}{4} \cdot S\) и \(h_1 = \frac{h}{2}\):

\[\frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot S\right) \cdot \left(\frac{h}{2}\right).\]

Упростим выражение:

\[\frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{24} \cdot S \cdot h.\]

Теперь можем сократить выражение на общий множитель \(\frac{1}{3} \cdot S \cdot h\):

1 = \frac{1}{24}.

Это так называемое тождество, которое всегда выполняется. Это означает, что объемы усеченной и полной пирамиды равны.

Таким образом, мы можем заключить, что объем усеченной пирамиды равен объему полной пирамиды, то есть \(V\).