Какова площадь круга, который вписан в треугольник со сторонами 18см, 24см и 30см?

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о вписанном круге и теореме герона для нахождения площади треугольника.

Вписанный круг - это круг, который касается всех трех сторон треугольника. В центре этого круга находится центр вписанной окружности.

Теорема герона - это формула для нахождения площади треугольника по длинам его сторон. Формула выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, \(p\) - полупериметр, который вычисляется следующим образом:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

В нашем случае, стороны треугольника равны 18см, 24см и 30см. Найдем полупериметр:

\[p = \frac{18см + 24см + 30см}{2} = 36см\]

Теперь можем найти площадь треугольника:

\[S = \sqrt{36см \cdot (36см - 18см) \cdot (36см - 24см) \cdot (36см - 30см)}\]
\[S = \sqrt{36см \cdot 18см \cdot 12см \cdot 6см}\]
\[S = \sqrt{46656см^4} \approx 216см^2\]

Теперь перейдем к площади вписанного круга. В вписанном треугольнике, радиус круга является перпендикуляром, опущенным из центра круга на одну из сторон треугольника.

Так как знаем стороны треугольника и площадь, можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

\[S = \frac{abc}{4R}\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(R\) - радиус вписанного круга.

Подставим значение площади:

\[216см^2 = \frac{18см \cdot 24см \cdot 30см}{4R}\]
\[R = \frac{18см \cdot 24см \cdot 30см}{4 \cdot 216см^2}\]

Теперь можем вычислить радиус:

\[R = \frac{18см \cdot 24см \cdot 30см}{864см^2}\]
\[R \approx 15см\]

Таким образом, радиус вписанного круга равен примерно 15 сантиметрам.

Наконец, чтобы найти площадь круга, мы воспользуемся формулой для площади:

\[S_{круга} = \pi R^2\]
\[S_{круга} = \pi \cdot (15см)^2\]
\[S_{круга} \approx 706.86см^2\]

Таким образом, площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 18см, 24см и 30см, составляет примерно 706.86 квадратных сантиметров.