Какая длина каждой диагонали параллелограмма, если расстояния от его вершин до точки пересечения диагоналей составляют

Чтобы найти длину каждой диагонали параллелограмма, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами параллелограмма.

Дано, что расстояния от вершин параллелограмма до точки пересечения диагоналей составляют 8 см и 12 см.

У нас есть два треугольника, которые получаются в результате разбиения параллелограмма диагоналями. Обозначим расстояние от каждой вершины параллелограмма до точки пересечения диагоналей как $h_1$, $h_2$, $a$, и $b$, как показано на рисунке ниже:

$$\begin{array}{rl}& aa\\ & \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\downarrow \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\downarrow \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\\ & |\mathrm{△}ABC||\mathrm{△}CDA|\\ & \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\downarrow \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\\ & bb\\ & \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\downarrow \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\downarrow \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\\ & |\mathrm{△}BCD||\mathrm{△}DAB|\\ & \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\downarrow \mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\\ & h_1{h}_2\end{array}$$

Используя свойства параллелограмма, мы знаем, что противоположные стороны равны по длине и параллельны.

Также, мы видим, что треугольники $ABC$ и $CDA$ имеют общую высоту $h_1$ и основания $a$ и $b$ соответственно. Это означает, что эти треугольники равны по площади.

Аналогично, треугольники $BCD$ и $DAB$ имеют общую высоту $h_2$ и основания $b$ и $a$ соответственно. Они также равны по площади.

Таким образом, площади треугольников $ABC$ и $CDA$ равны площадям треугольников $BCD$ и $DAB$.

Теперь мы можем написать уравнения для площадей этих треугольников.

Площадь треугольника вычисляется как половина произведения его основания и высоты. Таким образом, площадь $ABC$ равна:
$$Площад{ь}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_1$$

Также, площадь треугольника $BCD$ равна:
$$Площад{ь}_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_2$$

Поскольку площади треугольников $ABC$ и $CDA$ равны площадям треугольников $BCD$ и $DAB$, мы можем записать следующее уравнение:

$$\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_1=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_2$$

Теперь подставим значения, которые нам даны: $h_1=8$ см и $h_2=12$ см.

$$\frac{1}{2}\cdot a\cdot 8=\frac{1}{2}\cdot b\cdot 12$$

Для упрощения уравнения, мы можем сократить $\frac{1}{2}$ с обеих сторон:

$$a\cdot 8=b\cdot 12$$

Теперь решим уравнение относительно $b$:

$$b=\frac{a\cdot 8}{12}=\frac{2a}{3}$$

Теперь, мы можем подставить это значение в другое уравнение от площади треугольника:

$$\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_1=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{2a}{3}\right)\cdot h_2$$

Теперь давайте решим это уравнение:

$$8a=\frac{2a}{3}\cdot 12$$

Сначала упростим правую часть:

$$8a=2a\cdot 4$$

Умножим:

$$8a=8a$$

Теперь мы видим, что уравнение верно для любого значения $a$, что говорит нам о том, что длина каждой диагонали параллелограмма обладает свойством быть равной.

Таким образом, ответ на задачу: длина каждой диагонали параллелограмма равна 8 см, так как расстояния от его вершин до точки пересечения диагоналей составляют 8 см и 12 см.