Какова площадь круга, который вписан в равнобедренную трапецию, где одна из боковых сторон делится точкой касания

Для начала, давайте определим свойства равнобедренной трапеции. Равнобедренная трапеция имеет две пары равных сторон. По условию задачи, одна из боковых сторон делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 6 см и 9 см.

Пусть \(ABCD\) -- равнобедренная трапеция, где \(AB\) и \(CD\) -- основания трапеции, \(AC\) и \(BD\) -- боковые стороны, \(M\) -- точка касания вписанной окружности с боковой стороной \(AC\) и \(N\) -- точка касания вписанной окружности с боковой стороной \(BD\).

Мы знаем, что \(AM = 6\) см и \(AN = 9\) см. Давайте построим перпендикуляр из точки \(M\) на сторону \(BC\), и обозначим точку пересечения как \(E\). Также построим перпендикуляр из точки \(N\) на сторону \(BC\) и обозначим точку пересечения как \(F\).

Так как прямая, соединяющая точки касания окружности и середины основания равнобедренной трапеции, является медианой, она делит основание пополам. Значит, точка \(E\) делит сторону \(BC\) на два равных отрезка, аналогично с точкой \(F\). Пусть отрезки \(BE = EC = x\), а отрезки \(BF = FD = y\).

Теперь обратим внимание на пару прямоугольных треугольников: \(\triangle ABM\) и \(\triangle CDM\). Оба треугольника имеют одинаковые катеты и гипотенузы, поскольку вписанная окружность касается стороны \(AC\).

Применив теорему Пифагора в каждом из треугольников, получим:
\[
AM^2 = AE^2 + EM^2 \text{ и } CM^2 = CE^2 + EM^2
\]

Так как \(AM = 6\), а \(CM = CD - DM = AB - DM = 2x - y\), подставим известные значения и решим уравнения:

\[
6^2 = (x + EM)^2 + EM^2 \text{ и } (2x - y)^2 = (x - EM)^2 + EM^2
\]

Раскроем скобки и упростим выражения:

\[
36 = (x^2 + 2xEM + EM^2) + EM^2 \text{ и } (4x^2 - 4xy + y^2) = (x^2 - 2xEM + EM^2) + EM^2
\]

Объединим подобные члены:

\[
2EM^2 + 2xEM + x^2 - 36 = 0 \text{ и } 4x^2 - 4xy + y^2 = 2EM^2 - x^2
\]

Подставим \(2EM^2\) из первого уравнения во второе:

\[
4x^2 - 4xy + y^2 = x^2 + 2xEM + x^2 - 36
\]

Упростим и перенесем все слагаемые влево:

\[
0 = -2x^2 - 4xy + 2xEM + y^2 + 36
\]

Теперь найдем значение \(EM\) из первого уравнения. Раскроем скобки:

\[
0 = 2EM^2 + 2xEM + x^2 - 36 - 36
\]

Упростим и перенесем все слагаемые влево:

\[
0 = 2EM^2 + 2xEM + x^2 - 72
\]

Обратим внимание на то, что эти два уравнения являются однородными четырехчленами, зависящими от \(x\) и \(y\). Мы видим, что здесь сложно получить точные значения для \(x\) и \(y\). Однако для нашей задачи нам не нужно точное значение этих переменных.

Теперь мы можем рассмотреть площадь круга, который вписан в равнобедренную трапецию. Заметим, что радиус окружности с центром в точке касания будет иметь длину \(EM\).

Таким образом, мы можем сформулировать следующий план действий:
1. Найдем точку \(EM\) из первого уравнения.
2. Воспользуемся полученными значениями, чтобы найти площадь круга.

Итак, перейдем к первому уравнению, чтобы найти \(EM\):

\[
2EM^2 + 2xEM + x^2 - 72 = 0
\]

Заметим, что это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней. Воспользуемся дискриминантом:

\[
D = (2xEM)^2 - 4 \cdot 2EM^2 \cdot (x^2 - 72)
\]

\[
D = 4x^2E^2M^2 - 8EM^2x^2 + 576EM^2
\]

\[
D = 8x^2EM^2 - 8x^2EM^2 + 576EM^2
\]

\[
D = 576EM^2
\]

Так как дискриминант должен быть больше или равен нулю для существования корней, то \(576EM^2 \geq 0\), а значит \(EM > 0\).

Теперь найдем значение \(EM\) из первого уравнения с учетом \(EM > 0\):

\[
2EM^2 + 2xEM + x^2 - 72 = 0
\]

Мы можем поделить всю эту квадратную функцию на \(2EM\):

\[
EM + x + \cfrac{x^2 - 72}{2EM} = 0
\]

Теперь найдем значение \(EM\):

\[
EM = \cfrac{72 - x^2}{2x}
\]

Теперь у нас есть значение \(EM = \cfrac{72 - x^2}{2x}\). Мы можем найти площадь круга, зная радиус окружности. Формула для площади круга: \(S = \pi r^2\).

Здесь \(r = EM = \cfrac{72 - x^2}{2x}\). Подставим это значение и вычислим площадь:

\[
S = \pi \left(\cfrac{72 - x^2}{2x}\right)^2
\]

Таким образом, площадь круга, который вписан в равнобедренную трапецию с заданными сторонами, составит \(\pi \left(\cfrac{72 - x^2}{2x}\right)^2\) квадратных сантиметров.