5. Если боковая сторона равнобокой трапеции равна 10 корень из 3 см и острый угол равен 30°, то какова площадь этой

Задача 5: Для решения этой задачи нам понадобится знать свойства равнобокой трапеции и свойства вписанной окружности.

Первое свойство равнобокой трапеции гласит, что боковые стороны равны. В нашем случае, боковая сторона равна 10 корень из 3 см. Обозначим её за \(a\).

Второе свойство гласит, что основания равнобокой трапеции лежат на одной окружности. Поэтому, если искомая трапеция может вписываться в окружность, то её основания - это радиусы этой окружности. Обозначим наши основания за \(r\) и \(R\).

Третье свойство связывает боковую сторону \(a\) с радиусами \(r\) и \(R\) по формуле: \(a = \sqrt{r \cdot R}\).

Четвёртое свойство гласит, что площадь равнобокой трапеции можно вычислить по формуле: \(S = \frac{(R - r) \cdot a}{2}\).

Нам известны все данные: боковая сторона \(a = 10 \sqrt{3}\) см и острый угол \(30°\). Мы хотим найти площадь трапеции \(S\).

Для начала найдём радиусы \(r\) и \(R\). Мы знаем, что у равнобокой трапеции основания - это радиусы вписанной окружности. Поэтому, основываясь на размерах сторон, можно выразить радиусы через боковую сторону \(a\):

\[r = \frac{a}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \, \text{см}\]
\[R = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 10 = 20 \, \text{см}\]

Теперь, когда у нас есть значения радиусов \(r\) и \(R\), мы можем вычислить площадь трапеции по формуле:

\[S = \frac{(R - r) \cdot a}{2} = \frac{(20 - 5 \sqrt{3}) \cdot 10 \sqrt{3}}{2}\]

Для удобства расчётов, можно упростить выражение под знаком деления:

\[\frac{(20 - 5 \sqrt{3}) \cdot 10 \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3} (20 - 5 \sqrt{3})}{2}\]

Теперь умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от корня в числителе:

\[\frac{10 \sqrt{3} (20 - 5 \sqrt{3})}{2} = \frac{10 \cdot 3 (20 - 5 \sqrt{3})}{2} = \frac{30 (20 - 5 \sqrt{3})}{2} = 15 (20 - 5 \sqrt{3})\]

Таким образом, площадь трапеции равна \(15 (20 - 5 \sqrt{3})\) квадратных сантиметров.

Ответ: \(15 (20 - 5 \sqrt{3})\) квадратных сантиметров.

Задача 6: Для решения этой задачи нам понадобится знакомство с биссектрисой прямого угла и свойствами прямоугольного треугольника.

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит его прямой угол на два равных угла. Так как прямой угол равен 90°, то каждый из этих равных углов будет равен 45°.

Мы знаем длины отрезков, на которые биссектриса делит гипотенузу: 10 см и 30 см. Обозначим эти отрезки \(x\) и \(y\).

Заметим, что биссектриса делит прямой угол прямоугольного треугольника на два прямых угла, следовательно, она является высотой этого треугольника.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - длина одного из катетов, а \(h\) - высота, опущенная на этот катет из вершины прямого угла.

Поэтому, чтобы вычислить площадь треугольника, нам нужно найти один из катетов. Так как биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 10 см и 30 см, то сумма этих отрезков равна длине гипотенузы.

\[x + y = 10 + 30 = 40 \, \text{см}\]

Также мы знаем, что биссектриса делит прямой угол на два равных угла. Следовательно, получаем следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y = 40 \\
x = y
\end{cases}
\]

Из второго уравнения находим, что \(y = x\). Подставим это значение в первое уравнение:

\[x + x = 40\]

\[2x = 40\]

\[x = \frac{40}{2} = 20 \, \text{см}\]

Таким образом, один из катетов равен 20 см.

Теперь, когда у нас есть значение одного из катетов \(a = 20\) см, мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

В нашем случае, высота \(h\) равна второму катету \(y\), а значит равна 20 см.

\[S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20\]

\[S = 10 \cdot 20\]

\[S = 200 \, \text{квадратных сантиметров}\]

Таким образом, площадь треугольника равна 200 квадратных сантиметров.

Ответ: 200 квадратных сантиметров.