Какова площадь круга, если площадь квадрата, вписанного в него, составляет 144 квадратных сантиметра?

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о свойствах кругов и квадратов.

Для начала, давайте вспомним формулу площади квадрата. Площадь квадрата вычисляется по формуле:

\[S = a^2\]

где \(S\) - площадь, а \(a\) - длина стороны квадрата.

В данной задаче, площадь квадрата равна 144 квадратных сантиметра. Тогда мы можем записать следующее уравнение:

\[144 = a^2\]

Чтобы найти значение \(a\), возьмем корень из обеих сторон уравнения:

\[\sqrt{144} = \sqrt{a^2}\]

Это даст нам:

\[12 = a\]

Теперь у нас есть значение стороны квадрата, но нам нужно найти площадь круга.

Формула площади круга выглядит следующим образом:

\[S = \pi r^2\]

где \(S\) - площадь, а \(r\) - радиус круга.

У нас есть квадрат, вписанный в круг, и сторона квадрата равна 12. Если мы проведем диагональ квадрата, она будет рассекать его на два равных равнобедренных треугольника. Радиус круга - это половина диагонали квадрата.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину диагонали квадрата:

\[\text{диагональ}^2 = \text{сторона}^2 + \text{сторона}^2\]

\[\text{диагональ}^2 = 12^2 + 12^2\]

\[\text{диагональ}^2 = 144 + 144\]

\[\text{диагональ}^2 = 288\]

\[\text{диагональ} = \sqrt{288}\]

Дальше, чтобы найти радиус круга, делим длину диагонали на 2:

\[r = \frac{\sqrt{288}}{2}\]

Теперь мы можем найти площадь круга, подставив значение радиуса в формулу:

\[S = \pi r^2\]

\[S = \pi \left( \frac{\sqrt{288}}{2} \right)^2\]

\[S = \pi \left( \frac{288}{4} \right)\]

\[S = \pi \cdot 72\]

Таким образом, площадь круга составляет \(72\pi\) квадратных сантиметра.

Вот, мы получили максимально подробное решение задачи с обоснованием и пояснением каждого шага.