Какова площадь круга, если длина хорды составляет 10 дм и угол, который она образует с радиусом, равен 30°?

Для решения этой задачи, мы можем использовать связь между углом, образуемым хордой и радиусом, и формулу площади круга. Давайте разберемся пошагово:

1. Рассмотрим треугольник, образованный радиусом, хордой и касательной, проведенной к хорде в точке ее середины. Будем обозначать центр круга как точку \(O\), точку пересечения радиуса с хордой как \(A\), а точку середины хорды как \(M\). Также введем обозначение для нужных нам величин: длина радиуса \(r\), длина хорды \(d\) и угол \(\angle MOA\). Подсказка: Чтобы получить более наглядное представление о ситуации, можно нарисовать чертеж.

2. Из условия задачи известны величины: \(d = 10 \, \text{дм}\) и \(\angle MOA = 30^\circ\).

3. Воспользуемся связью между углом \(\angle MOA\) и углом внутри окружности, образованным той же хордой.

4. Обратите внимание, что хорда разбивает круг на две равные дуги, каждая из которых равна половине длины окружности. Поэтому угол \(\angle MOA\) является половиной угла внутри окружности, образованного этой же хордой. Таким образом, угол внутри окружности, образованный хордой, равен \(2 \times 30^\circ = 60^\circ\).

5. Используя связь между углом внутри окружности и центральным углом, мы можем получить значение центрального угла, образованного этой же хордой. Так как угол внутри окружности равен \(60^\circ\), то центральный угол равен \(2 \times 60^\circ = 120^\circ\).

6. Теперь мы можем использовать формулу для вычисления площади круга: \(S = \pi r^2\). Нам нужно найти значение радиуса, чтобы рассчитать площадь.

7. Для этого мы можем воспользоваться треугольником \(MOA\). Заметим, что треугольник \(MOA\) является равнобедренным, так как радиус \(OM\) равен радиусу \(OA\). Поэтому угол \(\angle MOA\) равен углу \(\angle OAM\).

8. Таким образом, у нас теперь есть равнобедренный треугольник \(OMA\) с углом \(\angle MOA = 30^\circ\) между радиусом и хордой. А это означает, что угол \(\angle OAM\) также равен \(30^\circ\).

9. Разбив равнобедренный треугольник \(OMA\) посередине, мы получаем два равных прямоугольных треугольника, в которых радиус \(OM\) будет служить гипотенузой, а равные катеты будут половиной хорды: \(AM =\frac{d}{2}= 5 \, \text{дм}\).

10. Так как мы знаем значение угла \(\angle OAM\), то можем использовать тригонометрическую функцию для вычисление значением радиуса \(OM\). В данном случае, мы можем использовать функцию синуса: \(\sin(30^\circ) = \frac{AM}{OM}\).

11. Подставляя известные значения, мы получаем: \(\sin(30^\circ) = \frac{5}{OM}\).

12. Решив уравнение для \(OM\), мы получаем: \(OM = \frac{5}{\sin(30^\circ)}\).

13. Вычисляя значение величины \(OM\), получаем: \(OM = 10 \, \text{дм}\).

14. Теперь, когда мы знаем значение радиуса \(r = OM = 10 \, \text{дм}\), мы можем вычислить значение площади круга с помощью формулы: \(S = \pi r^2\).

15. Подставляя значение радиуса, мы получаем: \(S = \pi \times 10^2\).

16. Вычисляя данное выражение, мы получаем окончательный ответ: \(S = 100\pi \, \text{дм}^2\).

Таким образом, площадь круга, когда длина хорды составляет 10 дм, а угол, который она образует с радиусом, равен 30°, равна \(100\pi \, \text{дм}^2\).