Какова площадь и периметр равнобедренного треугольника АВС, если длина основания АВ равна √3 , а угол при основании

Хорошо, начнем с решения задачи.

Периметр равнобедренного треугольника АВС можно найти, сложив длины всех его сторон. Известно, что основание АВ равно \(\sqrt{3}\). Но чтобы найти длину боковой стороны, нам необходимо использовать некоторые свойства равнобедренных треугольников.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны (AC и BC) равны между собой, а углы при основании (угол ABC и угол ACB) равны между собой. Также известно, что сумма углов треугольника равна 180°.

Угол при основании равнобедренного треугольника АВС равен 30°. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, мы можем вычислить уголы ACB и ABC.

Угол ACB = (180° - 30°) / 2 = 75°
Угол ABC = 75°

Теперь мы можем использовать свойство тригонометрических функций для нахождения длины боковой стороны AC.

В равнобедренном треугольнике ACB у нас есть два угла и одна сторона (основание АВ), для которых мы знаем значения. Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины стороны AC. Здесь мы можем использовать тангенс:

\tan(ACB) = AC / (АВ / 2)

Известно, что угол ACB равен 75°, а длина основания АВ (\(\sqrt{3}\)). Подставим известные значения:

\tan(75°) = AC / (\(\sqrt{3}\) / 2)

Мы можем решить это уравнение для длины стороны AC:

AC = \(\sqrt{3}\) * \(\frac{2}{\tan(75°)}\)

Теперь у нас есть значения длин всех сторон треугольника: АС и АВ. Мы можем найти периметр, сложив длины всех сторон:

Периметр = АВ + АС + BC

Подставляем значения:

Периметр = \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{3}\) * \(\frac{2}{\tan(75°)}\) + \(\sqrt{3}\)

Теперь нам остается найти площадь треугольника. Площадь равнобедренного треугольника можно найти, используя формулу:

Площадь = (Основание * Высота) / 2

Мы знаем длину основания (АВ) и угол при основании (30°). Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать функцию синус:

\(\sin(30°) = \frac{Высота}{\sqrt{3}}\)

Решаем это уравнение для высоты:

Высота = \(\sqrt{3}\) * \(\sin(30°)\)

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника:

Площадь = (\(\sqrt{3}\) * \(\frac{\sqrt{3}\sin(30°)}{2}\)) / 2

Известная формула \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\) поможет нам упростить это выражение:

Площадь = \(\frac{\sqrt{3}}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Площадь = \(\frac{3}{4}\)

Итак, чтобы ответить на задачу, площадь равнобедренного треугольника АВС равна \(\frac{3}{4}\), а периметр равен \(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{3}\) * \(\frac{2}{\tan(75°)}\) + \(\sqrt{3}\).