Какова площадь грани BCD в тетраэдре DABC, где известны следующие данные: ребро AD = 4, AB = 4√2, ВС = 7, угол

Чтобы найти площадь грани BCD в тетраэдре DABC, нам понадобится знать длину ребра BC и угол между ребром BC и плоскостью BCD.

Известно, что ребро AD равно 4 и ребро AB равно 4√2. Зная, что угол BAD равен 90°, мы можем найти длину ребра BD, используя теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, BD является гипотенузой, а AD и AB являются катетами.

Итак, по теореме Пифагора, мы можем записать:
\[BD^2 = AD^2 + AB^2\]
\[BD^2 = 4^2 + (4\sqrt{2})^2\]
\[BD^2 = 16 + 32\]
\[BD^2 = 48\]

Теперь найдем длину ребра BC. Зная, что угол CBD равен 60°, мы можем использовать закон косинусов для вычисления длины ребра BC. Закон косинусов гласит, что квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае, BC является искомой стороной, а BD и CD - известными сторонами, а угол CBD - известный угол.

Итак, по закону косинусов, мы можем записать:
\[BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos(CBD)\]
\[BC^2 = 48 + 7^2 - 2 \cdot \sqrt{48} \cdot 7 \cdot \cos(60°)\]
\[BC^2 = 48 + 49 - 2 \cdot \sqrt{48} \cdot 7 \cdot \frac{1}{2}\]
\[BC^2 = 97 - 2 \cdot \sqrt{48} \cdot 7 \cdot \frac{1}{2}\]
\[BC^2 = 97 - 14 \sqrt{12}\]

Теперь, когда у нас есть длина ребра BC и угол между ребром BC и плоскостью BCD, мы можем вычислить площадь грани BCD, используя формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin(CBD)\]

Теперь давайте подставим известные значения:
\[S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{97 - 14 \sqrt{12}} \cdot \sqrt{48} \cdot \sin(60°)\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{97 - 14 \sqrt{12}} \cdot \sqrt{48} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{97 - 14 \sqrt{12}} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{3}}{2}\]
\[S = \frac{\sqrt{(97 - 14 \sqrt{12}) \cdot 48 \cdot 3}}{4}\]

Таким образом, площадь грани BCD равна \(\frac{\sqrt{(97 - 14 \sqrt{12}) \cdot 48 \cdot 3}}{4}\) квадратных единиц.