Какова площадь фигуры, заключенной между графиком функции f(x)=8−0,6x2 , ее касательной в точке (-1, f(-1

Как мы можем найти площадь фигуры, заключенной между графиками функции \( f(x) = 8 - 0,6x^2 \), ее касательной и вертикальной линией \( x = 1 \)? Давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем координаты точки, в которой касательная к функции \( f(x) \) пересекает ось абсцисс в точке \( (-1, f(-1)) \).
Для этого подставим \( x = -1 \) в уравнение функции \( f(x) \) и найдем значение \( f(-1) \).
\[ f(-1) = 8 - 0,6(-1)^2 = 8 - 0,6 = 7,4 \]
Таким образом, координаты точки пересечения касательной с осью абсцисс равны \( (-1, 7,4) \).

Шаг 2: Найдем уравнение касательной.
Чтобы найти уравнение касательной в точке \( (-1, 7,4) \), нам понадобится наклон (производная) функции \( f(x) \) в этой точке.
Найдем производную функции \( f(x) \).
\[ f"(x) = -1,2x \]
Теперь найдем значение производной в точке \( x = -1 \).
\[ f"(-1) = -1,2(-1) = 1,2 \]
Таким образом, наклон касательной в точке \( (-1, 7,4) \) равен 1,2.

Уравнение касательной имеет вид:
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
где \( m \) - наклон касательной, \( (x_1, y_1) \) - координаты точки на касательной.

Подставим значения:
\[ y - 7,4 = 1,2(x + 1) \]
упростим:
\[ y - 7,4 = 1,2x + 1,2 \]
\[ y = 1,2x + 8,6 \]

Шаг 3: Найдем точку пересечения касательной и вертикальной линии \( x = 1 \).
Подставим \( x = 1 \) в уравнение касательной:
\[ y = 1,2 \cdot 1 + 8,6 = 9,8 \]
Таким образом, координаты точки пересечения касательной и вертикальной линии равны \( (1, 9,8) \).

Шаг 4: Найдем площадь фигуры, заключенной между графиком функции \( f(x) \), ее касательной и вертикальной линией.
Фигура заключена между осью абсцисс и участком графика функции \( f(x) \), расположенным между \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Также данная фигура ограничена касательной и вертикальной линией.

Сначала найдем площадь под кривой функции \( f(x) \), используя интеграл. Интеграл функции можно найти следующим образом:
\[ \int_{-1}^{1} f(x) dx \]
Подставим функцию \( f(x) = 8 - 0,6x^2 \) и проинтегрируем:
\[ \int_{-1}^{1} (8 - 0,6x^2) dx = \left[ 8x - 0,6\frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} \]
Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
\[ \left( 8 \cdot 1 - 0,6\frac{1^3}{3} \right) - \left( 8 \cdot (-1) - 0,6\frac{(-1)^3}{3} \right) \]
\[ 7,8 - (-9,8) = 17,6 \]

Теперь посчитаем площадь треугольника, образованного касательной и вертикальной линией.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]
Основание треугольника - это расстояние между точками пересечения между касательной и вертикальной линией, то есть между точками \( (-1, 7,4) \) и \( (1, 9,8) \). Расстояние можно найти по формуле:
\[ \text{расстояние} = |x_2 - x_1| = |1 - (-1)| = 2 \]

Высота треугольника - это разность между значениями y-координат точек пересечения, то есть \( 9,8 - 7,4 = 2,4 \).

Подставим значения в формулу площади треугольника:
\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2,4 = 2,4 \]

Шаг 5: Найдем итоговую площадь фигуры.
Чтобы найти итоговую площадь фигуры, заключенной между графиком функции \( f(x) \), ее касательной и вертикальной линией, нужно вычесть площадь треугольника из площади под кривой функции.

\[ S_{\text{фигуры}} = S_{\text{под кривой}} - S_{\text{треугольника}} = 17,6 - 2,4 = 15,2 \]

Итак, площадь фигуры, заключенной между графиком функции \( f(x) = 8 - 0,6x^2 \), ее касательной в точке \( (-1, f(-1)) \) и вертикальной линией \( x = 1 \), равна \( 15,2 \).