Какова площадь фигуры, ограниченной кривой y=(2x-3)e^-x и ее горизонтальной асимптотой, на интервале [0;+∞)?

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данной кривой и ее горизонтальной асимптотой, мы будем использовать определенный интеграл.

Данная фигура ограничена кривой \(y = (2x-3)e^{-x}\) и горизонтальной асимптотой. Поскольку интервал, на котором мы ищем площадь, указан как [0; +∞), то будем искать значение определенного интеграла на этом интервале.

Первым шагом нам нужно найти точку пересечения кривой и горизонтальной асимптоты. Для этого приравняем \(y\) к горизонтальной асимптоте. Горизонтальная асимптота представляет собой горизонтальную линию на бесконечности, поэтому она имеет уравнение \(y = C\), где \(C\) - это постоянная. В данном случае, поскольку у нас нет указаний на конкретное значение, мы можем выбрать любое число для \(C\). Давайте выберем \(C = 0\).

Таким образом, мы получаем уравнение \((2x-3)e^{-x} = 0\). Чтобы найти x, при котором это уравнение выполняется, мы можем приравнять \((2x-3)\) к нулю: \(2x-3=0\). Решая это уравнение, мы получаем \(x = \frac{3}{2}\).

Теперь у нас есть точка пересечения кривой и горизонтальной асимптоты - \(x = \frac{3}{2}\).

Для нахождения площади фигуры нам нужно вычислить значение определенного интеграла на интервале [0; +∞). Мы можем записать это как \(\int_{0}^{\infty} (2x-3)e^{-x} dx\).

Чтобы вычислить этот интеграл, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид: \(\int u dv = uv - \int v du\), где \(u\) и \(v\) - это функции, а \(du\) и \(dv\) - это их дифференциалы.

В нашем случае, мы можем выбрать \(u = (2x-3)\) и \(dv = e^{-x} dx\), тогда \(du = 2dx\) и \(v = -e^{-x}\).

Подставим значения в формулу интегрирования по частям: \(\int (2x-3)e^{-x} dx = -(2x-3)e^{-x} + \int e^{-x} \cdot 2 dx\).

Упростим это выражение \(\int (2x-3)e^{-x} dx = -(2x-3)e^{-x} + 2\int e^{-x} dx\).

Следующим шагом мы интегрируем выражение \(\int e^{-x} dx\), что равно \(-e^{-x}\).

Теперь мы можем записать окончательный интеграл:
\(\int_{0}^{\infty} (2x-3)e^{-x} dx = -[(2x-3)e^{-x} + 2(-e^{-x})]\Big|_{0}^{\infty}\).

Выполняя подстановку пределов интегрирования, мы получаем:
\(-[(2\infty-3)e^{-\infty} + 0] - [((2 \cdot 0)-3)e^{0} + 2(-e^{0})]\).

Так как \(e^{-\infty}\) стремится к нулю, а \(e^0\) равно 1, у нас остается:
\(-[(2\cdot 0-3)\cdot 0 + 0] - [(2\cdot 0-3)\cdot 1 + 2(-1)] = -[-3 -2] = -[-5] = 5\).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данной кривой и горизонтальной асимптотой на интервале [0; +∞), равна 5.