Какова площадь фигуры, образованной четырьмя дугами окружностей с центрами в вершинах квадрата со стороной длиной

Давайте рассмотрим задачу подробно. У нас есть квадрат со стороной длиной \(a\), а мы должны найти площадь фигуры, образованной четырьмя дугами окружностей с центрами в вершинах квадрата.

Для начала, посмотрим на квадрат и окружности, чтобы лучше понять задачу.

\(a\) - сторона квадрата

Теперь давайте представим, что мы проводим окружность с центром в одной из вершин квадрата и радиусом, равным половине стороны квадрата (\(r = \frac{a}{2}\)). Внутри квадрата это выглядит так:

\[
\begin{array}{c}
\\
\,---------\,\\
|\,\,\,\,|\\
|\,\,\,\,|\\
|\,\,\,\,|\\
|\_\_\_\_|
\end{array}
\]

Теперь, рассмотрим угол, образованный этой окружностью и отрезками двух сторон квадрата. Для нахождения площади этого угла, нам понадобится знать формулу площади сектора окружности:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2\]

Где \(S_{\text{сектора}}\) - площадь сектора, \(\theta\) - центральный угол сектора в градусах, \(\pi\) - число пи (приближенно равное 3.14159), \(r\) - радиус окружности.

В нашем случае, сектор образует четверть окружности, поэтому центральный угол равен 90 градусам (\(\theta = 90^\circ\)).

Таким образом, площадь сектора равна:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Проделаем ту же операцию для всех четырех вершин квадрата.

Теперь посчитаем площади этих четырех секторов и сложим их, чтобы найти площадь фигуры, образованной этими дугами окружностей.

\[
S_{\text{фигуры}} = 4 \cdot S_{\text{сектора}} = 4 \cdot \left(\frac{90^\circ}{360^\circ} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2\right) = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]

Окончательный ответ: Площадь фигуры, образованной четырьмя дугами окружностей с центрами в вершинах квадрата со стороной длиной \(a\), равна \(\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2\).