Какова площадь четырехугольника, у которого две вершины находятся в фокусах эллипса 9x^2+5y^2=1 и две другие совпадают

полуоси этого эллипса?

Чтобы найти площадь четырехугольника, у которого две вершины находятся в фокусах эллипса и две другие совпадают с концами малой полуоси этого эллипса, мы можем использовать свойство эллипса, которое гласит: "сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фокусов равна постоянной величине, которая является суммой расстояний от фокусов до концов большой полуоси".

Давайте вначале найдем концы малой полуоси этого эллипса. Для этого приведем уравнение эллипса к стандартному виду:

\[9x^2 + 5y^2 = 1\]

Разделим оба члена уравнения на 1, чтобы получить 1 в правой части:

\[\frac{{9x^2}}{{1}} + \frac{{5y^2}}{{1}} = 1\]

Теперь разделим оба члена уравнения на 9, чтобы получить коэффициент при \(x^2\) равным 1:

\[x^2 + \frac{{5y^2}}{{9}} = \frac{{1}}{{9}}\]

Теперь обозначим \(a\) и \(b\) как полуоси для легкости:

\[x^2 + \frac{{y^2}}{{\left(\frac{{3}}{{\sqrt{5}}}\right)^2}} = 1\]

Из этого можно сделать вывод, что малая полуось (это полуось, проходящая через фокусы) равна \(\frac{{3}}{{\sqrt{5}}}\).

Теперь, имея малую полуось, мы можем отметить вершины четырехугольника на эллипсе. Две вершины будут находиться в фокусах, а две другие будут находиться на концах малой полуоси.

Давайте отметим фокусы графически. Фокусы эллипса находятся на оси \(x\), поэтому их координаты будут \((\pm c, 0)\), где \(c\) - это расстояние от центра эллипса до фокуса. Поскольку фокусы находятся на малой полуоси, значение \(c\) будет соответствовать расстоянию от центра эллипса до конца малой полуоси.

Так как малая полуось равна \(\frac{{3}}{{\sqrt{5}}}\), мы можем найти \(c\), используя формулу:

\[c = \sqrt{a^2 - b^2}\]

\[c = \sqrt{\left(\frac{{3}}{{\sqrt{5}}}\right)^2 - \left(\frac{{3}}{{\sqrt{5}}}\right)^2}\]

\[c = \sqrt{\frac{{9}}{{5}} - \frac{{9}}{{5}}}\]

\[c = \sqrt{0}\]

\[c = 0\]

Таким образом, фокусы эллипса находятся на оси \(x\) и полуосевая точка \(c\) равна 0, что означает, что фокусы совпадают с началом координат.

Теперь у нас есть две вершины четырехугольника - фокусы эллипса, и две другие вершины, которые совпадают с концами малой полуоси.

Площадь четырехугольника можно вычислить как разность площади эллипса и площади сектора, ограниченного от начала координат до одной из вершин.

Давайте сначала найдем площадь эллипса. Формула для площади эллипса выглядит следующим образом:

\[S = \pi \cdot a \cdot b\]

Где \(a\) и \(b\) - большая и малая полуоси соответственно. Подставим значения в эту формулу:

\[S = \pi \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) \cdot 1\]

Теперь вычислим площадь сектора. Формула для площади сектора выглядит следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta\]

Где \(r\) - радиус сектора, который равен полуоси эллипса, а \(\theta\) - центральный угол, образованный между радиусом сектора и осью \(x\). В нашем случае, \(r\) равно \(\frac{3}{\sqrt{5}}\), а \(\theta\) равно \(90^\circ\), так как интересует нас одна четверть эллипса.

\[S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2 \cdot 90^\circ\]

Теперь мы можем вычислить площадь четырехугольника, вычитая площадь сектора из площади эллипса:

\[S_{\text{четырехугольника}} = S_{\text{эллипса}} - S_{\text{сектора}}\]

Подставим значения:

\[S_{\text{четырехугольника}} = \pi \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2 \cdot 90^\circ\]

Вычислим значение выражения:

\[S_{\text{четырехугольника}} = \pi \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2 \cdot 90^\circ\]

S_{\text{четырехугольника}} = "Your answer here"