Какова площадь боковой поверхности усеченного конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом

Конус имеет образующую, основания и боковую поверхность. Усеченный конус - это конус, у которого одно из оснований меньше другого, и он имеет пересечение между этими основаниями.

Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Пусть \(R\) и \(r\) - радиусы большего и меньшего оснований соответственно, \(l\) - образующая, и \(S_1\) и \(S_2\) - площади большего и меньшего оснований соответственно.

Дано, что площади оснований составляют \(4\pi\) см² и \(16\pi\) см² соответственно. Это значит, что:

\[
\begin{align*}
S_1 &= 4\pi \text{ см}^2 \\
S_2 &= 16\pi \text{ см}^2 \\
\end{align*}
\]

Также известно, что образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Поэтому у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой \(l\) и углом 60°. Обозначим основание этого треугольника через \(a\) и высоту этого треугольника через \(h\). По определению тригонометрии, мы знаем, что:

\[
\sin(60^\circ) = \frac{h}{l}
\]

Решим это уравнение относительно \(h\):

\[
h = l \sin(60^\circ) = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Теперь мы можем перейти к решению задачи. Площадь боковой поверхности усеченного конуса может быть найдена с помощью формулы:

\[
S_{\text{бок}} = \pi (R + r) l
\]

Заметим, что боковая поверхность состоит из нескольких фигур: усеченного конуса и двух треугольников.

Площадь боковой поверхности первого конуса равна:

\[
S_{\text{бок1}} = \pi (R + R) l = 2\pi R l
\]

Площадь боковой поверхности второго конуса равна:

\[
S_{\text{бок2}} = \pi (r + r) l = 2\pi r l
\]

Также, площадь боковых поверхностей двух треугольников равна:

\[
S_{\text{тр1}} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot h = \frac{1}{2} \cdot R \cdot \left(l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

\[
S_{\text{тр2}} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot h = \frac{1}{2} \cdot r \cdot \left(l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Теперь мы можем суммировать все площади, чтобы получить общую площадь боковой поверхности усеченного конуса:

\[
S_{\text{бок}} = S_{\text{бок1}} + S_{\text{бок2}} + S_{\text{тр1}} + S_{\text{тр2}}
\]

\[
S_{\text{бок}} = 2\pi R l + 2\pi r l + \frac{1}{2} \cdot R \cdot \left(l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{2} \cdot r \cdot \left(l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Подставляем значения радиусов и выражения для \(h\):

\[
S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 2 + 2\pi \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left( l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)
\]

\[
S_{\text{бок}} = 4\pi + 8\pi + \sqrt{3} \cdot l + 2\sqrt{3} \cdot l
\]

Теперь объединяем мономы:

\[
S_{\text{бок}} = 12\pi + 3\sqrt{3} \cdot l
\]

Получили выражение для площади боковой поверхности усеченного конуса. Ответ: \(S_{\text{бок}} = 12\pi + 3\sqrt{3} \cdot l\)