Какова площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен 90 градусам

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, нужно сначала найти длину ее высоты и длину бокового ребра.

Для начала, обратимся к теореме Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза равна радиусу окружности, описанной вокруг боковой грани пирамиды.

По определению, радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен половине длины его описанной окружности. Пусть \(R\) - радиус окружности, \(r\) - радиус вписанной окружности в треугольник.

Так как угол при вершине пирамиды равен 90 градусам, то треугольник, образованный его боковой гранью, является прямоугольным треугольником. Значит, у него есть высота, которая проходит из вершины пирамиды и перпендикулярна к основанию треугольника.

Высота пирамиды может быть найдена так: \[h = \sqrt{R^2 - r^2}\]

Теперь, чтобы найти длину бокового ребра треугольной пирамиды, обратимся к теореме Пифагора в проекции треугольника на его боковое ребро, получившейся прямоугольной треугольник. Обозначим длину бокового ребра как \(a\).

Таким образом, имеем: \[a = \sqrt{h^2 + r^2}\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, нужно умножить полупериметр основания на длину бокового ребра.

Полупериметр основания треугольной пирамиды равен полусумме длин всех его сторон: \[P = 3r\]

Таким образом, площадь боковой поверхности треугольной пирамиды равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a = \frac{3}{2} \cdot r \cdot \sqrt{h^2 + r^2}\]

Используя указанные формулы, вы можете вычислить площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды в зависимости от заданных значений радиуса окружности, описанной вокруг её боковой грани.