Какова площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен 90 градусам

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, нужно сначала найти длину ее высоты и длину бокового ребра.

Для начала, обратимся к теореме Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза равна радиусу окружности, описанной вокруг боковой грани пирамиды.

По определению, радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен половине длины его описанной окружности. Пусть $R$ - радиус окружности, $r$ - радиус вписанной окружности в треугольник.

Так как угол при вершине пирамиды равен 90 градусам, то треугольник, образованный его боковой гранью, является прямоугольным треугольником. Значит, у него есть высота, которая проходит из вершины пирамиды и перпендикулярна к основанию треугольника.

Высота пирамиды может быть найдена так: $$h=\sqrt{R^2-r^2}$$

Теперь, чтобы найти длину бокового ребра треугольной пирамиды, обратимся к теореме Пифагора в проекции треугольника на его боковое ребро, получившейся прямоугольной треугольник. Обозначим длину бокового ребра как $a$.

Таким образом, имеем: $$a=\sqrt{h^2+r^2}$$

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, нужно умножить полупериметр основания на длину бокового ребра.

Полупериметр основания треугольной пирамиды равен полусумме длин всех его сторон: $$P=3r$$

Таким образом, площадь боковой поверхности треугольной пирамиды равна: $$S=\frac{1}{2}\cdot P\cdot a=\frac{3}{2}\cdot r\cdot \sqrt{h^2+r^2}$$

Используя указанные формулы, вы можете вычислить площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды в зависимости от заданных значений радиуса окружности, описанной вокруг её боковой грани.