Какова площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если боковое ребро составляет угол 60° с плоскостью

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, мы должны знать длину бокового ребра и радиус окружности, описанной около основания. Перейдем к решению задачи шаг за шагом:

1. По условию задачи, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°. Заметим, что в правильной треугольной пирамиде боковые грани являются равносторонними треугольниками.

2. Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Она представляет собой равносторонний треугольник, в котором все стороны равны длине бокового ребра.

3. Создадим прямоугольный треугольник, в котором катетами будут одна из сторон равностороннего треугольника (это длина бокового ребра) и радиус окружности, описанной около основания.

4. Пользуясь геометрическими соотношениями, найдем величины сторон прямоугольного треугольника. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60°, мы имеем прямоугольный треугольник с одним углом 90° и другим углом 30°.

5. Воспользуемся формулой тригонометрии для прямоугольного треугольника: \(\sin(\theta) = \frac{{противоположный катет}}{{гипотенуза}}\). Из нашего треугольника видно, что противоположный катет - это радиус окружности, описанной около основания, а гипотенуза - это длина бокового ребра.

6. Подставим известные значения в формулу и найдем длину радиуса окружности, описанной около основания:

\(\sin(30°) = \frac{{2\sqrt{3}}}{{\text{{длина бокового ребра}}}}\).

\(\sin(30°) = \frac{{1}}{{2}}\).

\(\frac{{1}}{{2}} = \frac{{2\sqrt{3}}}{{\text{{длина бокового ребра}}}}\).

\(\text{{длина бокового ребра}} = 4\sqrt{3}\) см.

7. Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нам нужно найти площадь одной из боковых граней, а затем умножить ее на общее количество боковых граней. В нашем случае, поскольку пирамида правильная, у нее 3 боковые грани.

8. Площадь правильного треугольника можно найти с помощью формулы: \(\text{{площадь}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times (\text{{длина стороны}})^2\).

9. Подставляем известные значения в формулу:

\(\text{{площадь}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times (4\sqrt{3})^2\).

\(\text{{площадь}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times 48\).

\(\text{{площадь}} = 12\sqrt{3}\) см².

10. Наконец, чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, умножим площадь одной боковой грани на общее количество боковых граней:

\(\text{{площадь боковой поверхности}} = 12\sqrt{3} \times 3\).

\(\text{{площадь боковой поверхности}} = 36\sqrt{3}\) см².

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна \(36\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.