1) Каков объем конуса с диаметром 18 см и высотой 3,5 см? 2) Какова высота цилиндра с объемом 280π м3, если радиус

1) Для вычисления объема конуса, мы можем использовать формулу \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( V \) - объем, \( \pi \) - число пи, \( r \) - радиус основания, \( h \) - высота.

Диаметр конуса равен 18 см, поэтому радиус основания будет \( r = \frac{18}{2} = 9 \) см. Высота конуса составляет 3,5 см.

Подставим значения в формулу:

\( V = \frac{1}{3} \pi (9^2) \cdot 3,5 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 \cdot 3,5 \)

\( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 283,5 \)

\( V \approx 94,38 \) см³

Таким образом, объем конуса с диаметром 18 см и высотой 3,5 см составляет около 94,38 см³.

2) Для вычисления высоты цилиндра по заданному объему, мы можем использовать формулу \( V = \pi r^2 h \), где \( V \) - объем, \( \pi \) - число пи, \( r \) - радиус основания, \( h \) - высота.

Объем цилиндра равен \( 280\pi \) м³, а радиус основания составляет 14 дм. Для вычисления радиуса в метрах, переведем 14 дм в метры: \( 14 \) дм = \( 14 \) \(\cdot\) \( 0,1 \) м = \( 1,4 \) м.

Подставим значения в формулу:

\( 280\pi = \pi (1,4^2) \cdot h \)

\( 280 = 1,96h \)

\( h = \frac{280}{1,96} \)

\( h \approx 142,86 \) м

Таким образом, высота цилиндра с объемом \( 280\pi \) м³ и радиусом основания 14 дм составляет около 142,86 м.

3) Площадь образующей поверхности конуса можно найти с помощью формулы \( S = \pi r l \), где \( S \) - площадь, \( \pi \) - число пи, \( r \) - радиус основания, \( l \) - образующая (высота конуса).

Высота конуса составляет 8, а диаметр основания равен 14. Тогда радиус основания будет \( r = \frac{14}{2} = 7 \).

Подставим значения в формулу:

\( S = \pi \cdot 7 \cdot 8 \)

\( S = 56\pi \)

Таким образом, площадь образующей поверхности конуса с высотой 8 и диаметром основания 14 равна \( 56\pi \).

4) Чтобы найти площадь поверхности шара, в который вписан куб, нам необходимо знать длину ребра куба. Площадь поверхности шара можно выразить через эту длину ребра с помощью формулы \( S = 4\pi r^2 \), где \( S \) - площадь поверхности, \( \pi \) - число пи, \( r \) - радиус шара.

Ребро куба равно 10 см, что означает, что диагональ грани куба равна 10 см. По теореме Пифагора, диагональ грани равна \(\sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} \).

Так как шар вписан в куб, его диаметр будет равен длине диагонали грани куба. Диаметр шара равен \(\sqrt{200}\) см, что означает, что радиус шара равен \(\frac{\sqrt{200}}{2}\) см.

Подставим значения в формулу:

\( S = 4\pi \left(\frac{\sqrt{200}}{2}\right)^2 \)

\( S = 4\pi \left(\frac{200}{4}\right) \)

\( S = 4\pi \cdot 50 \)

\( S = 200\pi \)

Таким образом, площадь поверхности шара, в который вписан куб со стороной 10 см, равна \( 200\pi \).

5) Чтобы найти объем шара по заданной площади поверхности, мы можем использовать формулу \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \), где \( V \) - объем, \( \pi \) - число пи, \( r \) - радиус шара.

Площадь поверхности шара составляет \( 44\pi \) см². Чтобы найти радиус, мы можем использовать формулу для площади поверхности шара, \( S = 4\pi r^2 \), и решить ее относительно радиуса:

\( 44\pi = 4\pi r^2 \)

\( 11 = r^2 \)

\( r = \sqrt{11} \)

Подставим значение радиуса в формулу для объема шара:

\( V = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{11})^3 \)

\( V = \frac{4}{3}\pi \cdot 11\sqrt{11} \)

\( V \approx 180,15\pi \) см³

Таким образом, объем шара при площади поверхности 44π см² составляет приблизительно 180,15π см³.

6) Чтобы найти, во сколько раз увеличится объем конуса при изменении радиуса, мы можем использовать отношение объемов двух конусов с разными радиусами. Обозначим исходный радиус как \( r_1 \) и новый радиус как \( r_2 \).

Отношение объемов можно выразить как \(\frac{V_2}{V_1}\), где \( V_1 \) - объем исходного конуса, а \( V_2 \) - объем нового конуса.

Используя формулу для объема конуса \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \), мы можем записать отношение объемов:

\(\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{3}\pi (r_2^2) h}{\frac{1}{3}\pi (r_1^2) h}\)

Сокращая общие множители, получим:

\(\frac{V_2}{V_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2}\)

В данном примере радиус основания увеличивается в 2,5 раза, поэтому отношение радиусов будет \(\frac{r_2}{r_1} = 2,5\).

Подставим это значение в формулу для отношения объемов:

\(\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = (2,5)^2 = 6,25\)

Таким образом, объем конуса увеличится в 6,25 раза, если его радиус основания увеличить в 2,5 раза.