Каков радиус окружности, вписанной в ромб с стороной длиной 10 см и диагоналями, пропорциональными

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойство ромба, что его диагонали делятся пополам в точке их пересечения и свойство окружности, вписанной в ромб, о котором известно, что радиус вписанной окружности перпендикулярен каждой из сторон ромба.

По условию задачи, сторона ромба равна 10 см. Также нам известно, что диагонали ромба пропорциональны. Пусть отношение длины первой диагонали к длине второй диагонали равно \(k\).

Пусть \(AC\) и \(BD\) – диагонали ромба. Тогда, согласно свойству ромба, точка их пересечения \(O\) делит диагонали пополам. Обозначим половину длины первой диагонали через \(x\), а половину длины второй диагонали через \(y\), тогда:

\[AO = OC = x\]
\[BO = OD = y\]

Для решения задачи, нам также потребуется свойство вписанной окружности. Известно, что радиус вписанной окружности перпендикулярен каждой из сторон ромба. Обозначим радиус вписанной окружности через \(r\).

Введенные обозначения позволяют нам написать следующие равенства:

\[AB = 2x\]
\[BC = 2y\]

Окружность вписана в ромб, значит,

\[AB + BC = 2x + 2y = AC = 10\]

Теперь мы можем выразить \(x\) и \(y\) через параметр \(k\), исходя из заданных условий:

\[2x + 2y = 10\]
\[x + y = 5\]
\[x = 5 - y\]

Также, для нахождения радиуса вписанной окружности, воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике \(ABO\):

\[r^2 = x^2 + y^2\]
\[r^2 = (5-y)^2 + y^2\]
\[r^2 = 25 - 10y + 2y^2\]

Следующий шаг – найти значение переменной \(y\). Для этого воспользуемся условием, что диагонали ромба пропорциональны:

\[\frac{AC}{BD} = k = \frac{2x}{2y} = \frac{x}{y}\]

Подставляем выражение для \(x\):

\[\frac{5-y}{y} = k\]
\[5 - y = ky\]
\[y(k + 1) = 5\]
\[y = \frac{5}{k+1}\]

Теперь подставим это значение \(y\) в выражение для \(r^2\):

\[r^2 = 25 - 10\left(\frac{5}{k+1}\right) + 2\left(\frac{5}{k+1}\right)^2\]

Пусть нам нужно найти радиус вписанной окружности при условии, что отношение длины первой диагонали к длине второй диагонали равно 3.

\[k = 3\]

Подставим это значение в выражение для \(r^2\):

\[r^2 = 25 - 10\left(\frac{5}{3+1}\right) + 2\left(\frac{5}{3+1}\right)^2\]
\[r^2 = 25 - 10\left(\frac{5}{4}\right) + 2\left(\frac{5}{4}\right)^2\]
\[r^2 = 25 - \frac{50}{4} + 2\left(\frac{25}{16}\right)\]
\[r^2 = 25 - 12.5 + 1.5625\]
\[r^2 = 13.0625\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен:

\[r = \sqrt{13.0625}\]
\[r \approx 3.61\]