Какова площадь боковой поверхности конуса, если через вершину проведена плоскость, пересекающая основание по хорде

Хорошо, давайте решим задачу.

Пусть \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса, \(s\) - искомая площадь боковой поверхности.

Введем дополнительные обозначения:
\(O\) - вершина конуса,
\(AB\) - хорда основания, прилегающая к плоскости сечения,
\(P\) - точка пересечения хорды с плоскостью сечения,
\(M\) - середина хорды \(AB\),
\(N\) - середина дуги \(AB\).

Поскольку плоскость сечения образует угол 60° с плоскостью основания, то у треугольника \(ANP\) и треугольника \(PNB\) есть общая сторона \(NP\) и углы \(\angle ANP\) и \(\angle BNP\) равны 60°. Поэтому треугольник \(ANP\) подобен треугольнику \(PNB\) по признаку общего угла.

Также, в треугольниках \(ANM\) и \(BNM\) есть общая сторона \(NM\) и противолежащие углы \(\angle ANM\) и \(\angle BNM\) равны 90°. Значит, треугольники \(ANM\) и \(BNM\) подобны по признаку общего угла.

Отсюда получаем следующие соотношения между сторонами и высотами треугольников:

\(\frac{NP}{NM} = \frac{PN}{NB}\) (из подобия треугольников \(ANP\) и \(PNB\)).

\(\frac{NM}{MP} = \frac{AN}{NP}\) (из подобия треугольников \(ANM\) и \(BNM\)).

Теперь рассмотрим треугольник \(ANM\). Для него можно записать следующие соотношения:

\(\frac{NM}{MP} = \tan 60°\) (так как \(\angle ANM = 60°\) и \(\tan \angle ANM = \frac{NM}{MP}\)).

\(\frac{AN}{NP} = \sin 60°\) (так как \(\angle ANM = 60°\) и \(\sin \angle ANM = \frac{AN}{NP}\)).

Также, в треугольнике \(ANM\) отношение высоты к основанию равно \(\frac{AN}{NM} = \tan 30°\) (так как \(\angle ANM\) составляет 90°).

Используя эти соотношения, найдем значения отношений:

\(\frac{NP}{NM} = \frac{PN}{NB} = \frac{1}{\tan 60°} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

\(\frac{NM}{MP} = \tan 60° = \sqrt{3}\).

\(\frac{AN}{NP} = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

\(\frac{AN}{NM} = \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Теперь посчитаем длину искомой боковой поверхности конуса \(s\) (площадь боковой поверхности вычисляется по формуле \(s = \pi r l\)).

У нас есть длина хорды, равная 5 см, которая является расстоянием между точками \(A\) и \(B\). Так как точки \(A\), \(N\) и \(B\) лежат на одной прямой, то длина отрезка \(AB\) равна сумме длин отрезков \(AN\) и \(NB\).

Длина отрезка \(AN\) равна \(AN = \frac{AN}{NM} \cdot NM = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot l\).
Длина отрезка \(NB\) равна \(NB = \frac{NP}{NM} \cdot l = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot l\).

Таким образом, длина отрезка \(AB\) равна \(AB = AN + NB = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot l + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot l = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot l\).

Теперь мы можем найти радиус основания конуса \(r\), используя связь между радиусом, образующей и длиной хорды (эта связь следует из теоремы Пифагора):

\(r^2 = l^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2\).

Заметим, что \(\frac{AB}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot l\), поэтому:

\(r^2 = l^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot l\right)^2 = l^2 - \frac{l^2}{3} = \frac{2l^2}{3}\).

Отсюда находим \(r\) следующим образом:

\(r = \sqrt{\frac{2l^2}{3}} = \frac{l}{\sqrt{3}}\).

Теперь, зная радиус основания и образующую, мы можем найти площадь боковой поверхности \(s\):

\(s = \pi r l = \pi \cdot \frac{l}{\sqrt{3}} \cdot l = \frac{\pi l^2}{\sqrt{3}}\).

Полученное выражение является общей формулой для площади боковой поверхности конуса в данном случае. В ответе можно оставить его в таком виде:

\[s = \frac{\pi l^2}{\sqrt{3}}\].

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса, при условии указанных параметров, равна \(\frac{\pi l^2}{\sqrt{3}}\).