Какова площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб со стороной 18 см и острым

Чтобы найти площадь боковой поверхности четырехугольной пирамиды, нам нужно найти сумму площадей ее боковых граней.

Для начала, найдем площадь основания пирамиды. В данном случае основание — это ромб. Чтобы найти площадь ромба, умножим длину одной его стороны на длину другой и разделим полученный результат на 2. Формула для площади ромба выглядит следующим образом:

\[ S_{\text{ромба}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]

Где \( d_1 \) и \( d_2 \) - диагонали ромба. Так как в условии задачи сказано, что угол ромба равен 60°, то диагонали можно найти с помощью тригонометрических соотношений. Рассчитаем длину диагоналей ромба.

Применяя тригонометрическое соотношение для ромба и длины его сторон, получаем:

\[ d_1 = 2 \cdot a \cdot \sin(60°) \]

Так как у нас указана сторона ромба, возьмем в качестве \( a \) сторону со значением 18 см в данном случае. Вычислим \( d_1 \):

\[ d_1 = 2 \cdot 18 \cdot \sin(60°) \]
\[ d_1 = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ d_1 = 18 \sqrt{3} \]

Аналогично вычислим вторую диагональ:

\[ d_2 = 2 \cdot a \cdot \sin(60°) \]
\[ d_2 = 2 \cdot 18 \cdot \sin(60°) \]
\[ d_2 = 18 \sqrt{3} \]

Теперь мы можем рассчитать площадь ромба:

\[ S_{\text{ромба}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
\[ S_{\text{ромба}} = \frac{18 \sqrt{3} \cdot 18 \sqrt{3}}{2} \]
\[ S_{\text{ромба}} = \frac{18^2 \cdot 3}{2} \]
\[ S_{\text{ромба}} = 9 \cdot 18^2 \]
\[ S_{\text{ромба}} = 9 \cdot 324 \]
\[ S_{\text{ромба}} = 2916 \]

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Для этого нужно найти площадь каждой боковой грани пирамиды. У пирамиды, в основании которой лежит ромб, боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Диагонали ромба являются основаниями треугольников, а высота — это высота пирамиды, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба.

Для равнобедренного треугольника с основанием \( b \) и высотой \( h \) площадь вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{b \cdot h}{2} \]

Таким образом, площадь каждой боковой грани пирамиды равна половине произведения диагонали ромба на высоту пирамиды. Подставим найденные значения:

\[ S_{\text{боковых граней}} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot h + \frac{1}{2} \cdot d_2 \cdot h \]
\[ S_{\text{боковых граней}} = \frac{1}{2} \cdot 18 \sqrt{3} \cdot 12 + \frac{1}{2} \cdot 18 \sqrt{3} \cdot 12 \]
\[ S_{\text{боковых граней}} = 18 \sqrt{3} \cdot 12 \]
\[ S_{\text{боковых граней}} = 216 \sqrt{3} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности данной пирамиды равна \( 216 \sqrt{3} \) квадратных сантиметров.